柯西-歐拉方程

柯西-尤拉方程是形式如 $x^{2}y''+bxy'+cy=0$ （其中 $b,c$ 是常數）的二階變系數常微分方程。

解法

觀察可知 $y=x^{r}$ 是一個特定解：

0=x^{2}y''+bxy'+cy

=x^{2}r(r-1)x^{r-2}+bxrx^{r-1}+cx^{r}

=(r^{2}+(b-1)r+c)x^{r}

因為 $x^{r}=0$ 若且唯若 $x=0$ ，所以要考慮二次方程 $r^{2}+(b-1)r+c=0$ 的解。

r={1 \over 2}\left(1-b\pm {\sqrt {b^{2}-2b-4c+1}}\right).

設 $p,q$ 為二次方程的解。若 $p,q$ 不相等， $y$ 的一般解則為 $y=Ax^{p}+Bx^{q}$ 。

若 $p=q=(1-b)/2$ ，其中一個特定解為 $x^{r}\ln {x}$ ：

x^{2}(x^{r}\ln {x})''+bx(x^{r}\ln {x})'+cx^{r}\ln {x}

=x^{r}(\ln {x}(r^{2}+(b-1)r+c)+2r+b-1)

代入 $r=(1-b)/2$ 便知右方括號內等於0。因此核實 $x^{r}\ln {x}$ 是一個特定解。

於是，便有兩個線性獨立解，繼而可得： $y=Ax^{r}+Bx^{r}\ln {x}$ 。