調和級數

調和級數（英語：Harmonic series）是正整數的倒數之和，是發散的無窮級數，表達式為：

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \,\!$

這級數名字源於泛音及泛音列：振動的弦的泛音的波長依次是基本波長的${\textstyle {\frac {1}{2}}}$、${\textstyle {\frac {1}{3}}}$、${\textstyle {\frac {1}{4}}}$……等。調和序列中，第一項之後的每一項都是相鄰兩項的調和平均數；而「調和平均數」一詞同樣也源自音樂。

歷史

早在14世紀，尼克爾·奧里斯姆已經證明調和級數發散，但知道的人不多。17世紀時，皮耶特羅·曼戈里、約翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部證明工作。

調和序列歷來很受建築師重視；在巴洛克時期尤其明顯。當時建築師在建造教堂和宮殿時，運用調和序列為樓面佈置和建築物高度建立比例，並使室內外的建築細節間呈現和諧的聯繫。

佯謬

只要有足夠多的骨牌，最頂層骨牌離最底層的距離就可以無窮遠。可以發現，圖中骨牌排列的形狀就像順時針旋轉90°的對數函數，也即函數y=1/x的不定積分。

對剛接觸這級數的人而言，調和級數違反直覺——儘管隨$n$不斷增大，${\textstyle {\frac {1}{n}}}$無限接近0，但它卻是發散級數。調和級數也因此成為一些佯謬的原型。「橡皮筋上的蠕蟲」就是其中一例。假設蠕蟲沿着1米長的橡皮筋爬行，而橡皮筋每分鐘勻速伸展1米。如果相對於其所在的橡皮筋，蠕蟲的爬行速度是每分鐘1厘米，那麼它最終會到達橡皮筋的另一頭嗎？與直覺相反，答案是肯定的：$n$分鐘之後，蠕蟲爬行過的距離與橡皮筋總長度的比值為：

${\frac {1}{100}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$。

調和級數發散（證明見本條目「發散」一節），即$n$趨於無窮大時級數也趨於無窮大，這比值也必定在某時刻超過1；也就是說，蠕蟲最終一定會到達橡皮筋另一頭。然而，在這時刻的n的值極其之大，約為$e^{100}$，超過10⁴⁰（1後面有40個零）。這也說明了，儘管調和級數確確實實是發散，但它發散的速度非常慢。

另一例：假設有一堆完全相同的骨牌，可以肯定的是，它們可以疊在一起，並使得每塊骨牌都突出其下方骨牌外一定長度，最終使得最上層的骨牌完全在最底層骨牌以外甚至更遠。違反直覺的是，只要骨牌夠多，就可以使最上層的骨牌與最底層骨牌水平距離無窮遠。較簡單的證明如下：

設每一塊骨牌的長度為$l_{0}$。再設一疊$n$塊平衡的骨牌的質心與最底層骨牌最右端的距離為$d_{n}$；在只有1塊骨牌時，質心就在骨牌的幾何中心（假設骨牌密度均勻），即$d_{1}\,=\,{\frac {l_{0}}{2}}$。對於一疊剛好平衡的骨牌（即對於任意一層骨牌，在其之上的骨牌的質心恰好落在其邊緣），新骨牌不置於其上方（否則使得質心往右偏移而倒塌），而是墊在整疊骨牌之下，並使得原有骨牌的質心剛好落在新骨牌的最左端（則原來的骨牌不會倒塌）；設從上往下第n層骨牌突出其下方骨牌的長度為$l_{n}$，則有：$d_{n}+l_{n}=l_{0}$。根據質心的坐標系計算公式，可得到新的骨牌疊的質心為：

$d_{n+1}\,=\,{\frac {(d_{n}+l_{n})n+{\frac {l_{0}}{2}}}{n+1}}\,=\,{\frac {l_{0}\cdot n+{\frac {l_{0}}{2}}}{n+1}}\,=\,{\frac {l_{0}\cdot (n+1)-{\frac {l_{0}}{2}}}{n+1}}\,=\,l_{0}-{\frac {\frac {l_{0}}{2}}{n+1}}$

則$l_{n+1}=l_{0}-d_{n+1}={\frac {\frac {l_{0}}{2}}{n+1}}$，即$l_{n}={\frac {l_{0}}{2}}\cdot {\frac {1}{n}}$。

也就是說，理想的擺法是：最頂層骨牌與第二層之間水平距離是骨牌長度的${\frac {1}{2}}$，第二、三層間水平距離是骨牌長度的${\frac {1}{4}}$，第三、四層之間水平距離是骨牌長度的${\frac {1}{6}}$……依此類推。最終，最頂層和最底層骨牌的水平距離是：

$l_{\mathrm {total} }={\frac {l_{0}}{2}}\cdot \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$

調和級數發散，當骨牌數目$n$趨於無窮大時，水平距離也趨於無窮大。

發散

比較審斂法

$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right.$

$\geq \sum _{k=1}^{\infty }2^{-\lceil \log _{2}k\rceil }\,\!$

$=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right.\,\!$

$=1+\ {\frac {1}{2}}\ +\qquad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\ \quad \ \cdots \,\!\;=\;\;\infty .$

因此該級數發散。

積分判別法（integral test）

將調和級數的和與一個瑕積分比較可證此級數發散。考慮右圖中長方形的排列：長方形寬1單位、高${\textstyle {\frac {1}{n}}}$單位（換句話說，每個長方形的面積都是${\frac {1}{n}}$），所有長方形的總面積就是調和級數的和：

矩形面積和

$=1\,+\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,+\,\cdots$

而曲線${\textstyle y={\frac {1}{x}}}$以下、從1到正無窮部分的面積由以下瑕積分給出：

曲線下面積

$=\int _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}\,dx\;=\;\infty$。這部分面積真包含於（換言之，小於）長方形總面積，長方形的總面積也必定趨於無窮。更準確說，這證明了

$\sum _{n=1}^{k}\,{\frac {1}{n}}\;>\;\int _{1}^{k+1}{\frac {1}{x}}\,dx\;=\;\ln(k+1)$

這方法的拓展即積分判別法。

反證法

假設調和級數收斂 , 則$\lim _{n\to \infty }S_{2n}-S_{n}=0$

但與$S_{2n}-S_{n}={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}+{\frac {1}{n+3}}+\cdots +{\frac {1}{2n}}>{\frac {n}{2n}}={\frac {1}{2}}$矛盾，故假設不真，即調和級數發散。

發散率

調和級數發散的速度非常緩慢。舉例來說，調和序列前10⁴³項的和還不足100。調和數列的部分和呈對數增長。特別地，

$\sum _{n=1}^{k}\,{\frac {1}{n}}\;=\;\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}$

其中$\gamma$是歐拉－馬歇羅尼常數，而$\epsilon _{k}$約等於${\frac {1}{2k}}$，並且隨着$k$趨於正無窮而趨於$0$。這結果由歐拉給出。

當然無論調和級數發散率再怎樣低，其都不是發散率最慢的級數，仍存在發散率比調和級數更低的級數。理論上沒有發散率「最慢」的發散性級數和。

部分和

調和級數的第$n$項部分和為：

$H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}$，

也叫作第n個調和數。

第n個調和數與$n$的自然對數的差值（即$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln n$）收斂於歐拉-馬歇羅尼常數。

兩個不同的調和數之間的差值永遠不是整數。

除了$n=1$以外，沒有任何調和數是整數。

相關級數

交錯調和級數

此圖顯示，交錯調和級數的前14項部分和（圖中黑色線段）收斂於2的自然對數（紅色直線）。

如下級數：

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots$

稱作交錯調和級數。這級數可經交錯級數判別法證明收斂。特別地，這級數的和等於2的自然對數：

$1\,-\,{\frac {1}{2}}\,+\,{\frac {1}{3}}\,-\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \;=\;\ln 2$。

這公式是墨卡托級數（自然對數的泰勒級數形式）的特例。

從反正切函數的泰勒展開式可導出相關級數：

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;\;=\;\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,\cdots \;\;=\;\;{\frac {\pi }{4}}$。

這級數也稱作π的萊布尼茨公式。

廣義調和級數

廣義調和級數是指有如下形式的級數：

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{an+b}}$。

其中$a\neq 0$且$b$為實數。

由比較審斂法可證所有廣義調和級數均發散。

$p$-級數

調和級數廣義化的其中一種結果是$p$-級數，定義如下：

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p}}}$，

P是任何正實數。當$p=1$，$p$-級數即調和級數。由積分判別法或柯西稠密判定法可知$p$-級數在$p>1$時收斂（此時級數又叫過調和級數（over-harmonic series）），而在$p\leq 1$時發散。當$p>1$時，$p$-級數的和即$\zeta (p)$，也就是黎曼ζ函數在$p$的值。

$\varphi$-級數

對凸實值函數$\varphi$，若滿足以下條件：

$\limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi ({\frac {u}{2}})}{\varphi (u)}}<{\frac {1}{2}}$

則級數$\textstyle \sum _{n\geq 1}\displaystyle \varphi (n^{-1})$收斂。

隨機調和級數

隨機調和級數定義如下：

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {s_{n}}{n}}$，

其中$s_{n}$是恆等分佈的獨立隨機變量，取值範圍為+1和-1，取這兩值的概率都是${\frac {1}{2}}$。阿爾伯塔大學的拜倫·施姆蘭研究此級數的性質，並發現這級數收斂的概率為1，並發現這隨機變量有些有趣的性質。特別地，這隨機變量的概率密度函數在+2和-2處的值為0.124999999999999999999999999999999999999999764…，與${\frac {1}{8}}$只差不到10⁻⁴²。施姆蘭的論文解釋了為什麼這概率如此接近、但卻不是${\frac {1}{8}}$。這概率的精確值由無窮餘弦乘積積分$C_{2}$除以$\pi$而給出的。

貧化調和級數

主條目：肯普納級數

貧化調和級數是將調和級數中、分母含有數字9的項去除後所剩的級數。這級數是收斂的，其和小於80。實際上，將包含任意數字串的項從調和級數中去除後，所剩級數都收斂。

拉馬努金求和

調和級數是柯西發散的，而且很多常用的發散級數求和方法對它也不適用。但是，調和級數的拉馬努金求和存在，且為歐拉-馬斯刻若尼常數。

參見

• 無窮級數
• 調和平均數
• 黎曼ζ函數

外部連結

• "The Harmonic Series Diverges Again and Again", The AMATYC Review, 27 (2006), pp. 31–43. Many proofs of divergence of harmonic series.