乘法群

數學與群論中，乘法群指下列概念之一：

• 域、環或運算中含有「乘法」的其他結構，可反元素形成乘法下的群。對域F，群是$(F\backslash \{0\},\ \cdot )$，其中0指F的零元素，二元運算$\cdot$是域乘法；
• 代數環面${\rm {GL}}(1)$。

例子

• 整數模n乘法群是$\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$的可逆元素與乘法形成的群。n是合數時，除了0之外還有其他不可逆元素。
• 正數$\mathbb {R} ^{+}$的乘法群是阿貝爾群，1是其單位元素。對數是此群到實數$\mathbb {R}$加法群的群同構。
• 域F的乘法群是乘法下所有非零元素的集合：$F^{\times }=F-\{0\}$。若F是q階有限體（如$q=p$是質數，且$F=\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z}$），則乘法群是循環群：$F^{\times }\cong C_{q-1}$。

單位根的群概形

n次單位根的群概形是乘法群${\rm {GL}}(1)$上n次冪映射的核，可視作群概形。即，對任意整數$n>1$，可考慮乘法群上取n次冪的態射，並取適當的纖維積，其中態射e充當單位。

產生的群概形寫作$\mu _{n}$（或$\mu \!\!\mu _{n}$）。當且僅當K的特徵不整除n時，將其放在域K上會產生最簡概形，這使其產生未約概形（冪零元素在其結構層中的概形）的一些重要例子，如p元有限體上的$\mu _{p}$，p表示任意質數。

此現象不易用代數幾何的經典語言表達。例如，它在表達特徵p中的阿貝爾簇的對偶理論（皮埃爾·卡地亞的理論）時就顯得非常重要。此群概形的伽羅瓦餘調是表示庫默爾理論的一種方式。

另見

• 整數模n乘法群
• 加法群

參考文獻

• Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Volume 1. 2004. Springer, 2004. ISBN 1-4020-2690-0