交叉項
在線性代數中,若二次型(quadratic form)中的項並非平方項,也就是說包含超過一個變數,這個項被稱為交叉項(cross-term)。
在訊號處理領域中,交叉項通常指的是該項包含了兩個以上的元素(訊號),與之相對的則是自身項(auto-term),自身項中只包含一個元素。
通常在進行時頻分析時,我們都會希望盡量避免交叉項的產生,因為交叉項會使得多個訊號疊加的時頻分佈的圖形變得難以解讀,不同訊號之間也會難以分離。
線性代數中的交叉項
令 , 是自然數 ,假設我們要展開 ,則經過計算可以得到:
其中 和 都屬於自身項,因為它們分別只包含了一個變數; 則是交叉項,因為它包含了 和 兩個元素。
韋格納分佈中的交叉項
韋格納分佈的定義如下:
其中 代表原始訊號、 是轉換後的時間軸座標、 是轉換後的頻率軸座標。若我們設 ,並將韋格納分佈的公式展開如下:
其中 和 就是自身項,剩下的積分項就是交叉項。
參見
- Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2021.