交叉项
在线性代数中,若二次型(quadratic form)中的项并非平方项,也就是说包含超过一个变数,这个项被称为交叉项(cross-term)。
在信号处理领域中,交叉项通常指的是该项包含了两个以上的元素(信号),与之相对的则是自身项(auto-term),自身项中只包含一个元素。
通常在进行时频分析时,我们都会希望尽量避免交叉项的产生,因为交叉项会使得多个信号叠加的时频分布的图形变得难以解读,不同信号之间也会难以分离。
线性代数中的交叉项
令 , 是自然数 ,假设我们要展开 ,则经过计算可以得到:
其中 和 都属于自身项,因为它们分别只包含了一个变数; 则是交叉项,因为它包含了 和 两个元素。
韦格纳分布中的交叉项
韦格纳分布的定义如下:
其中 代表原始信号、 是变换后的时间轴座标、 是变换后的频率轴座标。若我们设 ,并将韦格纳分布的公式展开如下:
其中 和 就是自身项,剩下的积分项就是交叉项。
参见
- Jian-Jiun Ding, Time frequency analysis and wavelet transform class note, the Department of Electrical Engineering, National Taiwan University (NTU), Taipei, Taiwan, 2021.