雙體模型

統計力學圖論中,雙體模型(dimer model)是二維空間密鋪的模型,也稱為骨牌密鋪(Domino tiling,多米諾密鋪)或隨機密鋪模型(random tiling model)。這也是平方格子完美匹配[1][2][3][4]

8x8平方骨牌密鋪

介紹

若有   平方格子G、以及  把骨牌,覆蓋數量或密鋪數量是[5][6][1]

 

K是G的鄰接矩陣。 Z也是統計力學的配分函數[7]

例如:

若G是環面,則

 

其中Z依賴同調、C是卡塔蘭常數[7]

 
疊蓆密鋪

阿茲特克鑽石與北極圈現象

Z也依賴格子的邊界(參看阿茲特克鑽石英語Aztec diamond)。

阿茲特克鑽石表示所謂的「北極圈的現象」(Arctic circle phenomena),即邊界看起來很同質(冰凍地區),但是中間的「北極圈」不同質(非冰凍地區)。可以使用高度函數解釋這個現象。[7][4]

這些文章有更多阿茲特克圖:[7][3][4]

http://faculty.uml.edu/jpropp/tiling/www/intro.html(頁面存檔備份,存於互聯網檔案館

高度函數

一個密鋪定義一個0微分形式(函數):

 

s是自旋(參看易辛模型)、v是頂點。那麼可以定義一個1-形式

 

這個形式是閉形式。注意上面的形式不等於0因為G是二分圖。也定義密鋪函數

 

若雙體e存在, ,不然等於0。高度差函數[7]

 

這個函數定義一個 的隨機函數。這也是閉形式。的確威廉·瑟斯頓表示了若 真的是密鋪函數,這是一個必要條件。h是高度函數

NxN平方格子的高度函數在中間逼近O(N)。但是阿茲特克鑽石的高度函數逼近h的平均值。[7]的確,CKP定理[7]說h最小化一個(或熱力學自由能)的泛函變分法):

 

共形場論

高斯自由場

雙體模型的縮放極限(即高度函數的縮放極限是高斯自由場)[7],高斯自由場是一種二維布朗運動。所以 成為二維純量場

若G是一定的加權圖[7]K的縮放極限是反全純導數  [1]

 

f是「反全純函數」。再說 f 是調和函數和諧函數)。這是因為 調和矩陣(harmonic matrix)。[7]

非冰凍地區描述一個極限形(limit shape),比如這張文章描述一個心臟線[1](跟代數幾何有關)。高斯自由場也許描述這些極限形。2020年這還是未解決的問題。

數學家知道極限形滿足一個類似伯格斯方程 )的橢圓型偏微分方程。這些極限形可以相似極小曲面魏爾斯特拉斯-恩內佩爾參數化[1]

傳播子

鄰接矩陣反函數 是一種格林函數

 

傳播子量子場論)。[7] 可以表示這等於狄利克雷問題的核子

 

 

由於維克定理[7]

 

相關條目

其他骨牌模型

量子場論

參考文獻

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Richard Kenyon and Andrei Okounkov. What is a dimer? (PDF). (原始內容存檔 (PDF)於2020-07-30). 
  2. ^ Baake, Michael.; Moody, R. V., 1941-. Directions in mathematical quasicrystals. Providence, R.I.: American Mathematical Society https://www.worldcat.org/oclc/45248226. 2000. ISBN 0-8218-2629-8. OCLC 45248226.  缺少或|title=為空 (幫助)
  3. ^ 3.0 3.1 3.2 Richard Kenyon. The planar dimer model with boundary: a survey (PDF). (原始內容 (PDF)存檔於2013-01-27) (英語). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 Introduction to Random Tilings. faculty.uml.edu. [2020-02-14]. (原始內容存檔於2015-07-06). 
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閱讀

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