向量自我迴歸模型

向量自我迴歸模型(英語:Vector Autoregression model,簡稱VAR模型)是一種常用的計量經濟模型,由計量經濟學家和宏觀經濟學克里斯托弗·西姆斯(英語:Christopher Sims)提出。它擴充了只能使用一個變量的自我迴歸模型(簡稱:AR模型),使容納大於1個變量,因此經常用在多變量時間序列模型的分析上。

定義

VAR模型描述在同一樣本期間內的n變量(內生變量)可以作為它們過去值的線性函數。

一個VAR(p)模型可以寫成為:

 

其中:cn × 1常數向量Ain × n矩陣。etn × 1誤差向量,滿足:

  1.   —誤差項的均值為0
  2.   —誤差項的協方差矩陣為Ω(一個n × 'n半正定矩陣)
  3.   (對於所有不為0的k都滿足)—誤差項不存在自我相關

例子

一個有兩個變量的VAR(1)模型可以表示為:

 

或者也可以寫為以下的方程組:

 
 

轉換AR(p)為VAR(1)

AR(p)模型常常可以被改寫為VAR(1)模型。 比如AR(2)模型:

 

可以轉換成一個VAR(1)模型:

 

其中I單位矩陣

結構與簡化形式

結構向量自我迴歸

一個結構向量自我迴歸(Structural VAR)模型可以寫成為:

 

其中:c0n × 1常數向量Bin × n矩陣,εtn × 1誤差向量。

一個有兩個變量的結構VAR(1)可以表示為:

 

其中:

 

簡化向量自我迴歸

把結構向量自我迴歸與B0逆矩陣相乘:

 

讓:

    對於   

我們得到p-階簡化向量自我迴歸(Reduced VAR):

 

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