向量自回归模型(英语:Vector Autoregression model,简称VAR模型)是一种常用的计量经济模型,由计量经济学家和宏观经济学家克里斯托弗·西姆斯(英语:Christopher Sims)提出。它扩充了只能使用一个变量的自回归模型(简称:AR模型),使容纳大于1个变量,因此经常用在多变量时间序列模型的分析上。
定义
VAR模型描述在同一样本期间内的n个变量(内生变量)可以作为它们过去值的线性函数。
一个VAR(p)模型可以写成为:
-
其中:c是n × 1常数向量,Ai是n × n矩阵。et是n × 1误差向量,满足:
- —误差项的均值为0
- —误差项的协方差矩阵为Ω(一个n × 'n半正定矩阵)
- (对于所有不为0的k都满足)—误差项不存在自我相关
例子
一个有两个变量的VAR(1)模型可以表示为:
-
或者也可以写为以下的方程组:
-
-
转换AR(p)为VAR(1)
AR(p)模型常常可以被改写为VAR(1)模型。
比如AR(2)模型:
-
可以转换成一个VAR(1)模型:
-
其中I是单位矩阵。
结构与简化形式
结构向量自回归
一个结构向量自回归(Structural VAR)模型可以写成为:
-
其中:c0是n × 1常数向量,Bi是n × n矩阵,εt是n × 1误差向量。
一个有两个变量的结构VAR(1)可以表示为:
-
其中:
-
简化向量自回归
把结构向量自回归与B0的逆矩阵相乘:
-
让:
- 对于 和
我们得到p-阶简化向量自回归(Reduced VAR):
-
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