條件收斂

條件收斂是數學中無窮級數和廣義積分的一種性質。收斂但不絕對收斂的無窮級數或廣義積分稱為條件收斂的。一個積分條件收斂的函數也稱為條件可積函數。

詳細定義

條件收斂的級數

給定一個實數項無窮級數$A=\sum _{n}a_{n}$，如果它自身收斂於一個定值$C\in \mathbb {R}$：

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=C,$

但由每一項的絕對值構成的正項級數：$A_{s}=\sum _{n}|a_{n}|$不收斂：

$\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\infty ,$

那麼就稱這個無窮級數$A=\sum _{n}a_{n}$是一個條件收斂的無窮級數。

條件收斂的廣義積分

給定一個在區間$[a,\infty )$上有定義的函數$f(x)$，如果$f(x)$在任意的閉區間$[a,b]$上都可積，並且廣義積分：

$\int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$

收斂，而函數絕對值的廣義積分：

$\int _{a}^{+\infty }|f(x)|\mathrm {d} x=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x$

發散，那麼就稱廣義積分$\int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x$條件收斂。

例子

無窮級數

常見的條件收斂的無窮級數包括交錯調和級數：

$A_{h}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}$

它收斂到定值：$\ln 2$，而對應的由每項的絕對值構成的正項函數：$H=\sum _{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}$叫做調和級數，是發散的。

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty .$

廣義積分

條件收斂的廣義積分的一個例子是函數：${\frac {\sin x}{x}}$在正實數軸上的積分：

$I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x$

任取實數$a>1$，運用分部積分法可以得到：

$\int _{1}^{a}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\cos 1-{\frac {\cos a}{a}}-\int _{1}^{a}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x$

而對任意的正實數$A,B>1$：

${\Bigg |}\int _{A}^{B}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x{\Bigg |}\leqslant \int _{A}^{B}{\frac {|\cos x|}{x^{2}}}\mathrm {d} x\leqslant \int _{A}^{B}{\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x\leqslant {\frac {1}{A}}$

由柯西收斂原理可知廣義積分$\int _{1}^{+\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x$收斂，所以

$\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\lim _{a\to +\infty }\int _{1}^{a}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\cos 1-\lim _{a\to +\infty }{\frac {\cos a}{a}}-\lim _{a\to +\infty }\int _{1}^{a}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x=\cos 1-\int _{1}^{+\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x$

即積分：$I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x$收斂。但是，絕對值函數的積分：$I_{s}=\int _{1}^{+\infty }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x$不收斂。這是因為對任意自然數$k$，積分：

$I_{k}=\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x\geqslant \int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin x|}{(k+1)\pi }}\mathrm {d} x={\frac {2}{(k+1)\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {1}{k+1}}$

所以

$I_{s}=\int _{1}^{+\infty }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x\geqslant \sum _{k=1}^{+\infty }I_{k}\geqslant {\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k+1}}=+\infty$

因此，積分$I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x$是條件收斂的。

相關定理

• 黎曼級數定理：假設$\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$是一個條件收斂的無窮級數。對任意的一個實數$C$，都存在一種從自然數集合到自然數集合的排列$\sigma :\,\,n\mapsto \sigma (n)$，使得

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.$

此外，也存在另一種排列$\sigma ':\,\,n\mapsto \sigma '(n)$，使得

$\sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .$

類似地，也可以有辦法使它的部分和趨於$-\infty$，或沒有任何極限。

反之，如果級數是絕對收斂的，那麼無論怎樣重排，它仍然會收斂到同一個值，也就是級數的和。

參見

• 無條件收斂
• 絕對收斂