法叢
此條目沒有列出任何參考或來源。 (2009年6月18日) |
定義
黎曼流形
設 是一個黎曼流形, 是一個黎曼子流形。對給定的 ,一個向量 定義為 的法向量,如果 對所有 (從而 正交於 )。這樣的 的集合 稱之為 在 的法空間。
就像一個流形的切叢是由流形的所有切空間構造的, 的法叢的全空間 定義為
一般定義
更抽象地,給定一個浸入 (比如嵌入),我們可以定義N在M中的法叢,在每一點取M上的切叢對N的切叢的商空間。對黎曼流形我們可將商與正交補等同,但一般不可行(這樣一種選取等價於投影 的一個截面)。
從而法叢一般是周圍空間對限制在子叢上切叢的商。
正式地,N在M中的法叢是M的切叢的一個商叢: 我們有N上向量叢的短正合序列:
這裏 是M的切叢限制在N上(準確地說,M的切叢 通過映射 拉回到N上)。
穩定法叢
抽象流形由一個典範切叢,但沒有法叢:只有當一個流形嵌入(或浸入)另一個流形時誘導了一個法叢。但是,由惠特尼嵌入定理,每個緊流形可以嵌入在 中,給了這樣一個嵌入,每個流形有一個法叢。
一般沒有自然的嵌入方式,但對給定的M,任何兩個嵌入在 中,對足夠大N是正則同倫的,從而誘導了相同的法叢。所得的法叢類(這是一個叢的類而不是一個特定的叢,因為N可以變)稱為穩定法叢。
對偶於切叢
法叢在K-理論的意義下對偶於切叢: 由上一個短正合序列,在格羅滕迪克群中
浸入在 中的情形,周圍空間的法叢是平凡的(由於 可縮,從而可平行化),故 ,從而 。