解析容度

複分析中,複平面緊子集K的解析容度(analytic capacity)是一個標誌了上的有界解析函數可以有「多大」的數。粗略地說,解析容度測量了上的有界解析函數所組成的空間的單位球的大小。

這個概念最早由阿爾福斯在1940年代研究有界解析函數的奇點的可去性時引入。

定義

緊集 的解析容度定義為

 

其中, 表示有界解析函數 組成的集合。此外,

 

 

注意如果令 ,則有 。但是,一般來說 

對任意集合 ,定義

 

其中K取遍所有包含於A的緊集。

可去集與潘勒韋問題

設K是緊集,若對任意包含K的開集 ,集合 上的有界全純函數都可以解析延拓到整個 上,則稱K是可去集。根據黎曼可去奇點定理單點集都是可去的。這啟發保羅·潘勒韋於1880年提出了一個更一般的問題:「 的哪些子集是可去的?」

容易看出,K是可去的若且唯若 。然而,解析容度是純複分析的概念,要得到更多的幾何特性描述還有許多工作要做。

阿爾福斯函數

對緊集 ,存在唯一的極值函數,即 使得 。這個函數稱為K的阿爾福斯函數

解析容度與豪斯多夫維數

 表示豪斯多夫維數 表示1維豪斯多夫測度。則 蘊含 ,而 保證了 。然而, 

 的情況要複雜得多。

長度大於0而解析容度等於0的例子

之前給出了緊集的1維豪斯多夫測度與解析容度的部分對應關係,據此可以猜想 蘊含 。然而,這個猜想是錯的。A. G. Vitushkin首先給出了反例,J. Garnett又給出了簡單得多的例子。後者給出的構造如下:

 是單位正方形。然後 是4個邊長1/4的正方形的並,這4個小正方形分別位於 的四個角。以此類推,  個邊長為 的正方形(記做 )的並,每個 位於某個 的一角。令K是所有 的交,則 ,但是 

Vitushkin猜想

 是緊集,Vitushkin猜想敘述為

 

其中 表示在方向 上的正交投影。根據上面的結果,當 時,Vitushkin猜想為真。

Guy David於1998年證明了Vitushkin猜想在  的情況。2002年,Xavier Tolsa證明了解析容度是半可數可加的(countably semiadditive)。即,存在常數 使得對緊集 (其中 是博雷爾集), 

David與Tolsa的定理合起來能推導出,當K關於 σ有限的時,Vitushkin猜想為真。可是,對於不是 σ有限的1維的K,這個猜想仍然有待解決。

參考資料

  • Mattila, Pertti (1995). Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65595-1.
  • Pajot, Hervé (2002). Analytic Capacity, Rectifiability, Menger Curvature and the Cauchy Integral. Lecture Notes in Mathematics. Springer-Verlag.
  • J. Garnett, Positive length but zero analytic capacity, Proc. Amer. Math. Soc. 21 (1970), 696–699
  • G. David, Unrectifiable 1-sets have vanishing analytic capacity, Rev. Math. Iberoam. 14 (1998) 269–479
  • Dudziak, James J. (2010). Vitushkin's Conjecture for Removable Sets. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 978-14419-6708-4.
  • Tolsa, Xavier (2014). Analytic Capacity, the Cauchy Transform, and Non-homogeneous Calderón–Zygmund Theory. Progress in Mathematics. Birkhäuser Basel. ISBN 978-3-319-00595-9.