逐點收斂

逐點收歛也稱點態收斂(英語:pointwise convergence,或稱簡單收斂),是數學中描述一組函數序列向一個函數趨近的一種方式(函數趨近極限有其他不同方式,個中差異請小心分辨)。詳細點講,如果這組函數列在定義域中每點的取值都會趨於一個極限值,這時可以用每點的極限來定義這組函數序列的極限函數,被趨近的這個極限函數稱作這個函數序列的逐點極限。在各種收斂中,逐點收斂較容易了解跟想像,但未必能很好地保持函數的一些重要性質,比如說連續性等等。

定義

  是一組有相同定義域的函數序列。序列   逐點收斂若且唯若存在函數  ,使得在定義域中的每點  ,都有:

 

這時我們就說序列   逐點收斂到  ,或說函數   是序列   的逐點極限函數。在英文中也寫作:

 

性質

與逐點收斂經常一起出現的一個概念是一致收斂(英語:uniform convergence)。一致收歛的定義如下: 假設序列   中的函數跟函數   都有相同的定義域  。定義函數序列   一致收斂到  ,若數列   趨近於零,用符號表示就是: ,換句話講也就是:

 

兩相比較,一致收斂對於函數趨近的方式限制更大,所以一致收斂的函數序列必然逐點收斂,反之則不然。一個簡單的例子是函數序列  ,讓  ,則   逐點收斂到(不連續)函數

 ,

但並不一致收斂到該函數,因為對每個    皆為 1,所以

 

這說明了序列   並不一致收歛。 一致收斂能夠保持函數序列的連續性,但逐點收斂不能。如上例, 序列   都在閉區間   上連續,但是   逐點收斂到的函數   並不是連續函數。

逐點收歛不要求序列   中函數的取值一定是實數,也可以是任何使其定義有意義的拓撲空間。但一致收斂函數的適用範圍則相對較小,比如如果函數序列   的對應域僅是拓樸空間,那可能一致收歛的定義並無意義,所以一致收歛的對應域一般在度量空間。因為一致收歛定義中表達趨近的部分我們(部分的)利用了距離的概念(絕對值就是距離的概念),在這定義中無法被其他概念取代,相對來說逐點收歛中表達趨近的部分雖然也用了距離概念,但可以用拓樸空間中的開集合來取代,。

拓撲性質

逐點收斂也可以理解為由半範數 建立的拓撲。具有這種拓撲的函數組成的空間叫做逐點收斂空間。這個拓撲與乘積拓撲是等價的。如果 定義域值域都是緊緻的,根據吉洪諾夫定理,這個空間也是緊緻的。

測度論

測度理論中,對一個可測空間上的可測函數幾乎處處收斂的概念,也就是說幾乎處處逐點收斂。葉戈羅夫定理說明,在有限測度的集合上幾乎處處逐點收斂,意味着在稍微較小的集合上一致收斂。

參見