逐点收敛

逐点收敛也称点态收敛(英语:pointwise convergence,或称简单收敛),是数学中描述一组函数序列向一个函数趋近的一种方式(函数趋近极限有其他不同方式,个中差异请小心分辨)。详细点讲,如果这组函数列在定义域中每点的取值都会趋于一个极限值,这时可以用每点的极限来定义这组函数序列的极限函数,被趋近的这个极限函数称作这个函数序列的逐点极限。在各种收敛中,逐点收敛较容易了解跟想象,但未必能很好地保持函数的一些重要性质,比如说连续性等等。

定义

  是一组有相同定义域的函数序列。序列   逐点收敛当且仅当存在函数  ,使得在定义域中的每点  ,都有:

 

这时我们就说序列   逐点收敛到  ,或说函数   是序列   的逐点极限函数。在英文中也写作:

 

性质

与逐点收敛经常一起出现的一个概念是一致收敛(英语:uniform convergence)。一致收敛的定义如下: 假设序列   中的函数跟函数   都有相同的定义域  。定义函数序列   一致收敛到  ,若数列   趋近于零,用符号表示就是: ,换句话讲也就是:

 

两相比较,一致收敛对于函数趋近的方式限制更大,所以一致收敛的函数序列必然逐点收敛,反之则不然。一个简单的例子是函数序列  ,让  ,则   逐点收敛到(不连续)函数

 ,

但并不一致收敛到该函数,因为对每个    皆为 1,所以

 

这说明了序列   并不一致收敛。 一致收敛能够保持函数序列的连续性,但逐点收敛不能。如上例, 序列   都在闭区间   上连续,但是   逐点收敛到的函数   并不是连续函数。

逐点收敛不要求序列   中函数的取值一定是实数,也可以是任何使其定义有意义的拓扑空间。但一致收敛函数的适用范围则相对较小,比如如果函数序列   的对应域仅是拓朴空间,那可能一致收敛的定义并无意义,所以一致收敛的对应域一般在度量空间。因为一致收敛定义中表达趋近的部分我们(部分的)利用了距离的概念(绝对值就是距离的概念),在这定义中无法被其他概念取代,相对来说逐点收敛中表达趋近的部分虽然也用了距离概念,但可以用拓朴空间中的开集合来取代,。

拓扑性质

逐点收敛也可以理解为由半范数 建立的拓扑。具有这种拓扑的函数组成的空间叫做逐点收敛空间。这个拓扑与乘积拓扑是等价的。如果 定义域值域都是紧致的,根据吉洪诺夫定理,这个空间也是紧致的。

测度论

测度理论中,对一个可测空间上的可测函数几乎处处收敛的概念,也就是说几乎处处逐点收敛。叶戈罗夫定理说明,在有限测度的集合上几乎处处逐点收敛,意味着在稍微较小的集合上一致收敛。

参见