里斯表示定理
在泛函分析中有多個有名的定理冠以里斯表示定理(英語:Riesz representation theorem),它們是為了紀念匈牙利數學家弗里傑什·里斯。
希爾伯特空間的表示定理
定理: 是個複希爾伯特空間(也就是純量是複數),那對於任意連續線性泛函 ,存在唯一的 使得
證明的重點在於先證明 的核的正交補餘是 的一維子空間,然後取那個子空間中一個非零元素 ,設 。
與狄拉克符號的關係
這個定理也是量子力學中的狄拉克符號於數學上合理的依據;也就是說,當概率幅 對每個任意態向量 都是連續的時候,可以視為每個左向量 (也就是表示躍遷到 狀態的概率幅的線性泛函)都有一個相應的右向量 來同時代表同一個純態 ,因為根據以上的表現定理, 就是 和 的內積。
里斯-馬可夫表示定理
歷史
給定算子 ,(任何人)可以構造一個有界變差函數 ,使得,對任何連續函數 ,(任何人)有
- 。
Étant donnée l'opération , on peut déterminer la fonction à variation bornée , telle que, quelle que soit la fonction continue , on ait
- .
— Riesz, 1909
支集為緊的連續函數空間
定理: 是局部緊的郝斯多夫空間 ,則對正線性泛函 ,存在一個含有所有 的博雷爾集的Σ-代數 ,且存在唯一的測度 使得[2]
且(以下的條件稱為正則的)
- 對所有 的緊子集 , 。
- 若 ,則
- 若 且 ,則
- 若 為 的開集,則
於無窮遠處消失的連續函數空間
里斯-馬可夫表示定理也有以下不同的版本:
定理: 是局部緊的郝斯多夫空間。則對有界線性泛函 ,存在一個含有所有 的博雷爾集的Σ-代數 ,且存在唯一的正則測度 使得[2]
且 的範數是 的全變差(英語:total variation),即
最後, 是正的當且僅當測度 是非負的。
注: 上的有界線性泛函可唯一地延拓為 上有界線性泛函,因為後一個空間是前者的閉包。但是 上一個無界正線性泛函不能延拓為 上一個有界線性泛函。因此前兩個結論應用的情形稍微不同。
參考文獻
- M. Fréchet (1907). Sur les ensembles de fonctions et les opérations linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1414–1416.
- F. Riesz (1907). Sur une espèce de géométrie analytiques des systèmes de fonctions sommables. C. R. Acad. Sci. Paris 144, 1409–1411.
- F. Riesz (1909). Sur les opérations fonctionelles linéaires. C. R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977.
- J. D. Gray, The shaping of the Riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis, Archive for History in the Exact Sciences, Vol 31(3) 1984-85, 127-187.
- P. Halmos Measure Theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
- P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Springer, New York 1982 (problem 3 contains version for vector spaces with coordinate systems).
- D. G. Hartig, The Riesz representation theorem revisited, American Mathematical Monthly, 90(4), 277-280 (A category theoretic presentation as natural transformation).
- Walter Rudin, Real and Complex Analysis, McGraw-Hill, 1966, ISBN 0-07-100276-6.
- 埃里克·韋斯坦因. Riesz Representation Theorem. MathWorld.
- Proof of Riesz representation theorem for separable Hilbert spaces. PlanetMath.
- ^ Gray, J. D. The shaping of the riesz representation theorem: A chapter in the history of analysis. Archive for History of Exact Sciences. 1983-08-15, (31): 127–187 [2023-02-13]. doi:10.1007/BF00348293. (原始內容存檔於2023-07-31) –透過Springer.
- ^ 2.0 2.1 Walter Rudin. Real and Complex Analysis. McGRAW-HILL. 1976. ISBN 978-0070542327.