方程的一般形式
一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程,它的一般形式为: ,其中 。 为方程的二次项, 为方程的二次项系数; 为一次项, 为一次项系数; 为常数项。若 ,则该方程没有二次项,即退变为一元一次方程。
求根公式
一元二次方程根的判别式为 。
若 ,则该方程有两个不相等的实数根:
;
若 ,则该方程有两个相等的实数根:
;
若 ,则该方程有一对共轭复数根:
。
由上可知,在实数范围内求解一元二次方程,当 时,方程才有根(有两个不等实数根或两个相等实数根);当 时,方程有两个复数根,但是在实数范围无解。
根与系数的关系
设 , 是一元二次方程 ( )的两根,则
两根之和:
两根之积:
求根公式的由来
中亚细亚的花拉子米 (约780-约850) 在公元820年左右出版了《代数学》。书中给出了一元二次方程的求根公式,并把方程的未知数叫做“根”,其后译成拉丁文radix。
我们通常把 称之为 的求根公式:
或不将 系数化为1:
对应函数的极值
设 ( ),
对 求导,得
-
令 ,得
-
即为 的极值点,该式亦为函数图形(即抛物线)的对称轴方程。
将 代入 ,可得
-
即为 的极值。
根据函数取极值的充分条件,即:
, 是 的极大值点,
, 是 的极小值点;
由 ,可知:
当 时(抛物线开口向下), 为 的极大值点;
当 时(抛物线开口向上), 为 的极小值点。