二次方程式

二次方程式是一種整式方程式,主要特點是未知項的最高次數是2,其中最常見的是一元二次方程式[1]

一元二次方程式

方程式的一般形式

一元二次方程式是指只含有一個未知數的二次方程式,它的一般形式為: ,其中   為方程式的二次項, 為方程式的二次項係數 為一次項, 為一次項係數; 常數項。若 ,則該方程式沒有二次項,即退變為一元一次方程式

求根公式

 
 
 
 

一元二次方程式根的判別式為 

 ,則該方程式有兩個不相等的實數根:  

 ,則該方程式有兩個相等的實數根:  

 ,則該方程式有一對共軛複數根:  

由上可知,在實數範圍內求解一元二次方程式,當 時,方程式纔有根(有兩個不等實數根或兩個相等實數根);當 時,方程式有兩個複數根,但是在實數範圍無解。

根與係數的關係

  是一元二次方程式    )的兩根,則

兩根之和: 

兩根之積: 

求根公式的由來

中亞細亞花拉子米 (約780-約850) 在公元820年左右出版了《代數學》。書中給出了一元二次方程式的求根公式,並把方程式的未知數叫做「根」,其後譯成拉丁文radix

我們通常把   稱之為   的求根公式:

 

或不將 係數化為1:

 

對應函數的極值

  ),
 求導,得

 

 ,得

 

即為  極值點,該式亦為函數圖形(即拋物線)的對稱軸方程式。 將   代入  ,可得

 

即為   的極值。

根據函數取極值的充分條件,即:
   極大值點
   極小值點
 ,可知:
 時(拋物線開口向下),  的極大值點;
 時(拋物線開口向上),  的極小值點。

參見

參考

  1. ^ 一般二次方程的讨论. [2012-12-29]. (原始內容存檔於2019-07-24). 頁面存檔備份,存於網際網路檔案館