巴都万数列

巴都万数列（Padovan Sequence）是一个整数数列^[1]，其起始数值跟递推关系定义为：

P(0)=P(1)=P(2)=1

P(n)=P(n-2)+P(n-3)

P(n) 的前几个值是：

1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ... （OEIS数列A000931）

此数列以建筑师理察·巴都万（英语：Richard Padovan）命名，理察·巴都万把此数列的发现归功于荷兰建筑师汉斯·范·德·兰（英语：Hans van der Laan）在1994年发表的论文《Dom. Hans van der Laan : Modern Primitive》^[2]。1996年6月，艾恩·史都华在《科学美国人》杂志提到这个数列。

递推关系

佩兰数列满足相同的递推关系。它亦可从巴都万数列定义： $Perrin_{n}=P_{n+1}+P_{n-10}$

使用递推关系 $P_{-n}=P_{-n+3}-P_{-n+1}$ 可将巴都万数列推广到负数项。这样的定义跟将斐波那契数推广到反斐波那契数列相似。另一方面，反斐波那契数列取绝对值便和斐波那契数列相等，但反巴都万数列却不：

... -7, 4, 0, -3, 4, -3, 1, 1, -2, 2, -1, 0, 1, -1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1 ...

首 $n$ 项（包括第0项）之和比 $P_{n+5}$ 少2：

\sum _{m=0}^{n}P_{m}=P_{n+5}-2.

下面是每隔数项的和：

\sum _{m=0}^{n}P_{2m}=P_{2n+3}-1

\sum _{m=0}^{n}P_{2m+1}=P_{2n+4}-1

\sum _{m=0}^{n}P_{3m}=P_{3n+2}

\sum _{m=0}^{n}P_{3m+1}=P_{3n+3}-1

\sum _{m=0}^{n}P_{3m+2}=P_{3n+4}-1

\sum _{m=0}^{n}P_{5m}=P_{5n+1}.

下面的恒等式跟项与项的乘积之和有关：

\sum _{m=0}^{n}P_{m}^{2}=P_{n+2}^{2}-P_{n-1}^{2}-P_{n-3}^{2}

\sum _{m=0}^{n}P_{m}^{2}P_{m+1}=P_{n}P_{n+1}P_{n+2}

\sum _{m=0}^{n}P_{m}P_{m+2}=P_{n+2}P_{n+3}-1.

P_{n}^{2}-P_{n+1}P_{n-1}=P_{-n-7}.

巴都万数列跟二项式系数之和有关：

\sum _{2m+n=k}{m \choose n}=P_{k-2}.

$x^{3}-x-1=0$ 有三个根：唯一的实数根 $p$ （即银数）和两个复数根 $q$ 和 $r$ 。

P_{n}={\frac {p^{n}}{\left(3p^{2}-1\right)}}+{\frac {q^{n}}{\left(3q^{2}-1\right)}}+{\frac {r^{n}}{\left(3r^{2}-1\right)}}.

因为 $q$ 和 $r$ 的绝对值都少于1，当 $n$ 趋近无限，其幂会趋近0。因此，对于很大的 $n$ ，可以以下面的公式估计：

P_{n}\approx {\frac {p^{n}}{\left(3p^{2}-1\right)}}={\frac {p^{n}}{4.264632...}}.

从上面的公式亦知 ${\frac {P_{n+1}}{P_{n}}}$ 的值趋近银数。

$P_{n}$ 可以用不同的整数分拆来定义。

2+2+2+2 ; 2+3+3 ; 3+2+3 ; 3+3+2

$P_{2n-2}$ 是将 $n$ 写成一个有序且式中没有项为2的和式的方法的数目。例如 $P_{5\times 2-2}=P_{8}=7$ ，有7种方法将5写成这类和式：

1+1+1+1+1 ; 1+1+3 ; 1+3+1 ; 3+1+1 ; 4+1 ; 1+4 ; 5

9 ; 1+7+1 ; 1+1+5+1+1 ; 1+1+1+3+1+1+1 ; 1+1+1+1+1+1+1+1+1; 3+3+3 ; 4+1+4 ; 3+1+1+1+3; 1+3+1+3+1

1+1+1+1+1+1+1+1: 4+4; 3+1+1+3; 1+3+3+1; 1+1+4+1+1; 1+6+1; 8

11 ; 2+2+2+5 ; 2+2+5+2 ; 2+5+2+2 ; 5+2+2+2

巴都万数列的生成函数为

G(P_{n};x)={\frac {1+x}{1-x^{2}-x^{3}}}.

它可以用于证明巴都万数跟几何级数的项的积的等式，例如：

\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {P_{n}}{2^{n}}}={\frac {12}{5}}.

巴都万数列可以一般化成一个多项式的集。

P_{n}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{if }}n=0\\x,\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{if }}n=1\\x^{2},\qquad \qquad \qquad \qquad &{\mbox{if }}n=2\\xP_{n-2}(x)+P_{n-3}(x),&{\mbox{if }}n\geq 3\end{matrix}}\right.

首七个巴都万多项式为：

P_{0}(x)=1\,

P_{1}(x)=x\,

P_{2}(x)=x^{2}\,

P_{3}(x)=x^{2}+1\,

P_{4}(x)=x^{3}+x\,

P_{5}(x)=x^{3}+x^{2}+x\,

P_{6}(x)=x^{4}+2x^{2}+1\,

P_{7}(x)=x^{4}+2x^{3}+x^{2}+x\,

第 $n$ 个巴都万数即 $P_{n}(1)$ 。

奇偶性：按“奇奇奇偶偶奇偶”的组合重复出现。
数列中的素数： $P_{3,4}=2;P_{5}=3;P_{7}=5;P_{8}=7;P_{14}=37;P_{19}=151;P_{30}=3329;P_{37}=23833;...$ （OEIS:A000931）
数列中的平方数： $P_{0,1,2}=1;P_{6}=2^{2};P_{9}=3^{2};P_{11}=4^{2};P_{15}=7^{2}$

^ Weisstein, Eric W. (编). Padovan Sequence. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ Richard Padovan. Dom Hans van der Laan: modern primitive: Architectura & Natura Press, ISBN 9789071570407.