巴都萬數列
巴都萬數列(Padovan Sequence)是一個整數數列[1],其起始數值跟遞迴關係定義為:
P(n) 的前幾個值是:
- 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265, ... (OEIS數列A000931)
此數列以建築師理察·巴都萬命名,理察·巴都萬把此數列的發現歸功於荷蘭建築師漢斯·范·德·蘭在1994年發表的論文《Dom. Hans van der Laan : Modern Primitive》[2]。1996年6月,艾恩·史都華在《科學美國人》雜誌提到這個數列。
遞迴關係
- (此關係可從圖中見得)
佩蘭數列滿足相同的遞迴關係。它亦可從巴都萬數列定義:
反巴都萬數列
使用遞迴關係 可將巴都萬數列推廣到負數項。這樣的定義跟將斐波那契數推廣到反費氏數列相似。另一方面,反費氏數列取絕對值便和費氏數列相等,但反巴都萬數列卻不:
... -7, 4, 0, -3, 4, -3, 1, 1, -2, 2, -1, 0, 1, -1, 1, 0, 0, 1, 0, 1, 1, 1 ...
項的和
首 項(包括第0項)之和比 少2:
下面是每隔數項的和:
下面的恆等式跟項與項的乘積之和有關:
其他恆等式
巴都萬數列跟二項式係數之和有關:
估計值
因為 和 的絕對值都少於1,當 趨近無限,其冪會趨近0。因此,對於很大的 ,可以以下面的公式估計:
從上面的公式亦知 的值趨近銀數。
整數分拆上的定義
可以用不同的整數分拆來定義。
- 是將 寫成一個有序、每項是2或3的和式的方法的數目。例如 ,有4種方法將8寫成這類和式:
- 2+2+2+2 ; 2+3+3 ; 3+2+3 ; 3+3+2
- 是將 寫成一個有序且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如 ,有7種方法將5寫成這類和式:
- 1+1+1+1+1 ; 1+1+3 ; 1+3+1 ; 3+1+1 ; 4+1 ; 1+4 ; 5
- 是將 寫成一個有序且「回文型」且式中沒有項為2的和式的方法的數目。例如 ,有9種方法將9寫成這類和式:
- 9 ; 1+7+1 ; 1+1+5+1+1 ; 1+1+1+3+1+1+1 ; 1+1+1+1+1+1+1+1+1; 3+3+3 ; 4+1+4 ; 3+1+1+1+3; 1+3+1+3+1
- 若上述情況改為 ,則數列如下:
- 1+1+1+1+1+1+1+1: 4+4; 3+1+1+3; 1+3+3+1; 1+1+4+1+1; 1+6+1; 8
- 是將 寫成一個有序的、每項除以3都餘2的和式的方法的數目。例如 ,有5種方法將11寫成這類和式:
- 11 ; 2+2+2+5 ; 2+2+5+2 ; 2+5+2+2 ; 5+2+2+2
生成函數
巴都萬數列的生成函數為
它可以用於證明巴都萬數跟幾何級數的項的積的等式,例如:
多項式
巴都萬數列可以一般化成一個多項式的集。
首七個巴都萬多項式為:
第 個巴都萬數即 。
其他特質
- 奇偶性:按「奇奇奇偶偶奇偶」的組合重覆出現。
- 數列中的質數: (OEIS:A000931)
- 數列中的平方數:
參考文獻
- ^ Weisstein, Eric W. (編). Padovan Sequence. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英語).
- ^ Richard Padovan. Dom Hans van der Laan: modern primitive: Architectura & Natura Press, ISBN 9789071570407.
外部連結
- Padovan Sequence (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館)(MathWorld)
- Tales of a Neglected Number,艾恩·史都華在雜誌發表的文章
- 學生科技網--中學生科技:美麗的螺旋線 黃金分割漫談之三,李潁伯
- Dom Hans Van Der Laan And The Plastic Number (頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), Richard Padovan