适应过程

适应过程是随机过程研究中常见的概念，表示不能“预见未来”的随机过程。非正式的数学解释是，一个随机过程是适应于某个参考族的，当且仅当在任意的特定时刻，随机过程都是可测的。适应过程是随机过程理论中很多重要概念的基础。比如说能够定义伊藤积分的随机过程就需要是适应过程。

定义

设有

• 概率空间$(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$；
• 测度空间$(S,{\mathcal {A}})$，状态空间；
• 有序的指标集$T$： 可以是非负实数集$[0,\infty )$、有限时间集$[0,T_{0}]$或离散时间$\mathbb {N}$；
• σ-代数${\mathcal {F}}$上的参考族$\mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}$；
• 随机过程$X:T\times \Omega \to \mathbb {X} =\left(X_{t}\right)_{t\in T}$。

则随机过程$\left(X_{t}\right)_{t\in T}$是适应过程（适应于$\mathbb {F}$的随机过程）当且仅当对任意的时刻$t\in T$，映射：$X_{t}:\Omega \to S$都是$({\mathcal {F}}_{t},{\mathcal {A}})$-可测的随机变量。

适应过程的定义说明，如果一个过程适应于某个参考族$\mathbb {F} =\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}$，那么在任意一个特定的时刻，我们掌握的信息都包括了这个过程。也就是说这个过程在任意时刻的结果必然在该时刻可知。但一般来说，适应过程在任意时刻的结果并不能提前预知。如果一个（离散的）随机过程在时刻$t=n$的结果能够在$t=n-1$的时刻已知，那么这个过程被称为在参考族$\mathbb {F}$中可预测。可预测的随机过程必然适应于参考族，反之则不然。

例子

设状态空间$(S,{\mathcal {A}})$为实数及其波莱尔σ-代数$(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$。设指标集为连续的：$T=[0,\infty ).$ 给定一个随机过程$X=\left(X_{t}\right)_{t\in T}$，如果考虑过程$X$产生的自然参考族：${\tilde {\mathcal {F}}}^{X}=\{{\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}|t\in T\}$

${\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}=\sigma \left(X_{s}\,;\,\,0\leqslant s\leqslant t\right)=\sigma \left(\left\{X_{s}^{(-1)}(H)\,|\,0\leqslant s\leqslant t,\,\,H\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\right\}\right)$

那么$X$当然是适应于${\tilde {\mathcal {F}}}^{X}$的过程，因为在每个时刻，$X$都是${\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}$-可测的随机变量。自然参考族也是能使得$X$为适应变量的“最小”参考族。$X$适应于某个参考族${\mathcal {F}}^{r}=\{{\mathcal {F}}_{t}|t\in T\}$，当且仅当在任何时刻$t\in T$，${\tilde {\mathcal {F}}}_{t}^{X}\subseteq {\mathcal {F}}_{t}.$

设$X=\left(X_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$是某彩票每期的开奖结果，那么$X$是一个适应随机过程，但不可能是一个可预测过程。