乘法

二元運算

数学中,乘法multiplication)是加法的连续运算,同一数的若干次连加,其运算结果称为product)。

3×4 = 12

须注意的是,华人地区有将四则运算的被运算数和运算数统一位置,所以被乘数放前面,乘数放后面。念作“a 乘以 n”或“n 乘 a”。 但在其它语言(如英文)中,有可能乘数是放在前的,写作 ,念作“n times a”。

表示法

乘法可以用几种方法表示。以下的式子表示“五乘以二”:

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古代常用的方法是将两个数并排,没有什么特别的符号来表示乘法。

以“ ”表示乘法是威廉·奥特雷德最先使用,分别于一篇现时相信是于1618年他写的附录,和约于1628年写作的、1631年出版的书《数学之钥》(Clavis Mathematicae)内出现。以“ ”表示乘法是现在最流行的写法。在电脑文书中,也有为方便键盘输入而以小写英文字母“x”替代“×”。

以“ ”表示乘法现在用于德国法国等国家,最早由托马斯·哈里奥特在1631年出版的著作使用,但对这个用法较有影响力的人是莱布尼兹

因为星号“ ”是键盘必备的符号,电脑常用星号表示乘号,第一次在电脑使用这个用法的是FORTRAN(福传)编程语言,事实上可以追溯到更早——1659年,Johann Rahn(1622年-1676年)在Teutsche Algebra一书中首次使用;但笔算时很少使用星号。

代数中,乘号经常省略掉,形式如  。若变量多于一个字母,容易使人混淆。这种表示法不会用于只有数字时,即 不会表示成 

乘积可以用大写希腊字母Π(Pi, )来表示:

 

定义

两个整数的积是:

 

这是“将m加到自己n次”的简化说法。更清晰来说:

 

使用上面的定义,我们很易找到一些乘法的性质:

  • 交换律 
  • 结合律 
  • 分配律 

将任何数乘以一都会等于该数本身,即 ,称为单位律

将任何数乘以零,即是什么也没做过,结果就是零,即 

  自然数,乘法的递归定义:

 
 

历史

 
孙子筹算乘法
 
印度的格子乘法

最早最详细的关于十进位制乘法的规则,首见公元400年左右孙子算经孙子乘法在9世纪经花拉子米介绍而流行于阿拉伯国家,13世纪被翻译成拉丁文而流行西方。

印度的格子乘法在唐代流入中国,在9世纪初经花拉子米介绍到阿拉伯,但都未能流行。

计算

  • 电脑有特别的算法来处理大数之间的相乘,见乘法算法
  • 华人小学生通常要背诵九九乘法表来学习乘法。
  • 史丰收速算法提出了用“本个 +后进”的方式来计算乘法。
  • 尺规作图作乘法的方法:给定长为 的线,以及两条线  ,求长度为该两条的线长度的积的线。解法:设该两条线分别为   垂直  。在 上画出点 使 ,连   。画一条通过 、平行 的线,延长 ,此两条线的交于  即为所求之线。

参考