利普希茨连续

数学中,特别是实分析利普希茨连续Lipschitz continuity)以德国数学家鲁道夫·利普希茨命名,是一个比一致连续更强的光滑性条件。直觉上,利普希茨连续函数限制了函数改变的速度,符合利普希茨条件的函数的斜率的绝对值,必小于一个称为利普希茨常数的实数(该常数依函数而定)。

微分方程,利普希茨连续是皮卡-林德洛夫定理中确保了初值问题存在唯一解的核心条件。一种特殊的利普希茨连续,称为压缩应用于巴拿赫不动点定理

利普希茨连续可以定义在度量空间上以及赋范向量空间上;利普希茨连续的一种推广称为赫尔德连续

定义

 
对于利普希茨连续函数,存在一个双圆锥(白色)其顶点可以沿着曲线平移,使得曲线总是完全在这两个圆锥外。

对于在实数集的子集的函数  ,若存在常数 ,使得 ,则称  符合利普希茨条件,对于  最小的常数  称为  利普希茨常数

   称为收缩映射

利普希茨条件也可对任意度量空间的函数定义:

给定两个度量空间  。若对于函数 ,存在常数  使得

 

则说它符合利普希茨条件。

若存在 使得

 

则称 双李普希茨(bi-Lipschitz)的。

皮卡-林德洛夫定理

若已知 有界, 符合利普希茨条件,则微分方程初值问题 刚好有一个解。

在应用上, 通常属于一有界闭区间(如 )。于是 必有界,故 有唯一解。

例子

  •  符合利普希茨条件, 
  •  不符合利普希茨条件,当 
  • 定义在所有实数值的 符合利普希茨条件, 
  •  符合利普希茨条件, 。由此可见符合利普希茨条件的函数未必可微。
  •  不符合利普希茨条件, 。不过,它符合赫尔德条件
  • 当且仅当处处可微函数f的一次导函数有界, 符合利普希茨条件。这是中值定理的结果。所有 函数都是局部利普希茨的,因为局部紧致空间的连续函数必定有界。

性质

  • 符合利普希茨条件的函数连续,实际上一致连续
  • 双李普希茨(bi-Lipschitz)函数是单射
  • Rademacher定理:若  为开集, 符利普希茨条件,则 几乎处处可微。[1]
  • Kirszbraun定理:给定两个希尔伯特空间   符合利普希茨条件,则存在符合利普希茨条件的 ,使得 的利普希茨常数和 的相同,且 [2][3]

参考

  1. ^ Juha Heinonen, Lectures on Lipschitz Analysis页面存档备份,存于互联网档案馆, Lectures at the 14th Jyväskylä Summer School in August 2004. (第18页以后)
  2. ^ M. D. Kirszbraun. Uber die zusammenziehenden und Lipschitzchen Transformationen. Fund. Math., (22):77–108, 1934.
  3. ^ J.T. Schwartz. Nonlinear functional analysis. Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1969.