大斜方截半二十面体

几何学中,大斜方截半二十面体(英语:Great rhombicosidodecahedron)又称为截角截半二十面体(英语:Truncated icosidodecahedron)是一种半正多面体,由于其具有点可递的性质,因此属于阿基米德立体[1],是十三种由2种以上的正多边形组成的非柱体几何图形之一。

大斜方截半二十面体
大斜方截半二十面体
(按这里观看旋转模型)
类别半正多面体
对偶多面体四角化菱形三十面体在维基数据编辑
识别
名称大斜方截半二十面体
参考索引U28, C31, W16
鲍尔斯缩写
verse-and-dimensions的wikiaBowers acronym
grid在维基数据编辑
数学表示法
考克斯特符号
英语Coxeter-Dynkin diagram
施莱夫利符号
tr{5,3}在维基数据编辑
威佐夫符号
英语Wythoff symbol
2 3 5 |
康威表示法bD
taD在维基数据编辑
性质
62
180
顶点120
欧拉特征数F=62, E=180, V=120 (χ=2)
组成与布局
面的种类正方形
正六边形
正十边形
面的布局
英语Face configuration
30个{4}
20个{6}
12个{10}
顶点图4.6.10
对称性
对称群Ih
特性
环带多面体
图像
立体图
4.6.10
顶点图

四角化菱形三十面体
对偶多面体

展开图

大斜方截半二十面体共有62个面、180条棱和120个顶点,是凸均匀多面体顶点数最多也是棱数最多的多面体。由于其每个面都具有点对称性(与180°的旋转对称等效),因此是一种环带多面体

命名

截半二十面体及其截角的结果

名称截角截半二十面体(英语:Truncated icosidodecahedron)最初由约翰内斯·开普勒给出,但这个名称有歧义,因为直接将截半二十面体透过截角变换的结果,其所形成的四边形面是一个长方形而不是正方形,然而这个立体图形在拓朴上与大斜方截半二十面体等价。

大斜方截半二十面体还有几个不同的名称:

性质

由30个正方形,20个正六边形和12个正十边形组成,有120个顶点和180条棱。除棱柱和反棱柱以外,如果所有的阿基米德立体具有相同的棱长,大斜方截半二十面体将具有最大的表面积和体积。

尺寸

若一大斜方截半二十面体的边长为a,则有下列性质:

  • 体积表面积
     [7][8]
     [7][8]
  • 外接球半径
     [8],由此可知,外接球体积为 ,其值约为 [8]
  • 内切球半径
     ,由此可知,内切球体积为 ,其值约为 [8]
  • 面心距
    • 正方形面心距为: [8]
    • 正六边形面心距为: [8]
    • 正十边形面心距为: [8]
  •  为大斜方截半二十面体的边心距、十二面体外接球半径为 、正二十面体外接球半径为 ,和菱形三十面体长对角线的接球半径为 。 存在下列等式:
    •  [9]
    •  [9]
    •  [9]
    •  [9]
    •  [9]

作法

将一个正十二面体正二十面体)三十条棱都切一刀,在二十(十二)个顶点处也切一刀,但是要切的薄一点,就可以得到一个大斜方截半二十面体。

顶点坐标

在三维笛卡儿坐标系中,以原点为几何中心,边长2τ-2的大斜方截半二十面体的坐标是以下坐标的全偶排列[10]

1/φ, ±1/φ, ±(3 + φ)),
2/φ, ±φ, ±(1 + 2φ)),
1/φ, ±φ2, ±(−1 + 3φ)),
(±(2φ − 1), ±2, ±(2 + φ)) and
φ, ±3, ±2φ),

其中 黄金分割率

相关多面体与镶嵌

   
领结二十面体和领结十二面体的结构可以看做是大斜方截半二十面体的正方形面被分割成两个梯形[11]

大斜方截半二十面体又称为截角截半二十面体,是正二十面体截半后再经过特殊的截角变换后的结果,其他也是由正二十面体透过康威变换得到的多面体有:

正二十面体家族半正多面体
对称群: [5,3]英语Icosahedral symmetry, (*532) [5,3]+, (532)
                                               
               
{5,3} t0,1{5,3} t1{5,3} t0,1{3,5} {3,5} t0,2{5,3} t0,1,2{5,3} s{5,3}
半正多面体对偶
                                               
               
V5.5.5 V3.10.10 V3.5.3.5 V5.6.6 V3.3.3.3.3 V3.4.5.4 V4.6.10 V3.3.3.3.5


大斜方截半二十面体图

大斜方截半二十面体图
 
5阶对称性
顶点120
180
半径15
直径15
围长4
自同构群120 (A5×2)
色数2
属性立方体英语Cubic graph哈密顿正则零对称性英语Zero-symmetric graph

在图论的数学领域中,与大斜方截半二十面体相关的图为大斜方截半二十面体图又称为截角截半二十面体图,是大斜方截半二十面体之边与顶点的图英语1-skeleton,是一种阿基米德图英语Archimedean graph[12]

性质

大斜方截半二十面体图与大斜方截半二十面体有相同的拓朴结构,其顶点与边的数量及结构都与阿基米德立体中的大斜方截半二十面体相同,共有120个顶点和180条边,是阿基米德图中,顶点和边数最多的图,且是一个位于零对称性英语Zero-symmetric graph立方体英语Cubic graph的阿基米德图[12]

施莱格尔图
 
3阶对称性
 
2阶对称性

参见

参考文献

  1. Cromwell, P.; Polyhedra页面存档备份,存于互联网档案馆), CUP hbk (1997), pbk. (1999).
  2. 埃里克·韦斯坦因. GreatRhombicosidodecahedron. MathWorld. 埃里克·韦斯坦因. Archimedean solid. MathWorld. 
  3. Klitzing, Richard. 3D convex uniform polyhedra x3x5x - grid. bendwavy.org. 
  1. ^ 1.0 1.1 Cromwell, P. Polyhedra. United Kingdom: Cambridge. 1997: 79–86 Archimedean solids. ISBN 0-521-55432-2. 
  2. ^ Wenninger, Magnus英语Magnus J. Wenninger, Polyhedron Models, Cambridge University Press, 1974, ISBN 978-0-521-09859-5, MR 0467493 
  3. ^ Wenninger, (Model 16[2], p. 30)
  4. ^ Williams, Robert. The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X. 
  5. ^ Williamson[4] (Section 3-9, p. 94)
  6. ^ Cromwell[1] (p. 82)
  7. ^ 7.0 7.1 Weisstein, Eric W. (编). Great rhombicosidodecahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  8. ^ 8.0 8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7 Harish Chandra Rajpoot. Mathematical analysis of great rhombicosidodecahedron (the largest Ar…. 2015-03-19 [2017-07-03]. (原始内容存档于2018-08-26). 
  9. ^ 9.0 9.1 9.2 9.3 9.4 Robert Whittaker. The Great Rhombicosidodecahedron | polyhedra.mathmos.net. polyhedra.mathmos.net. [2017-07-11]. (原始内容存档于2016-07-04) (英语). 
  10. ^ Weisstein, Eric W. (编). Icosahedral group. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. (英语). 
  11. ^ Symmetrohedra: Polyhedra from Symmetric Placement of Regular Polygons页面存档备份,存于互联网档案馆) Craig S. Kaplan
  12. ^ 12.0 12.1 Read, R. C.; Wilson, R. J., An Atlas of Graphs, Oxford University Press: 269, 1998 

外部链接