扭歪多面体

在几何学中，扭歪多面体（英语：Skew polyhedron）是指顶点、边或面并非全部位于同一个三维空间中的多面体，即扭歪多边形的高一维类比，因此其无法找到一个唯一的内部区域以及其体积。

正扭歪多面体代表每个面全等、每条边等长、每个角都相等的扭歪多面体，是一系列可能具有非平面的面或顶点图。考克斯特的研究着重于具有扭歪顶点图新的四维多面体，后期多由布兰科·格林鲍姆研究有扭歪面的形状。

具有无限多个面的扭歪多面体称为扭歪无限面体。除了扭歪无限面体之外的扭歪多面体仅能存在于四维或以上的空间。

历史

关于考克斯特，1926年时，约翰·弗林德斯·皮特里将扭歪多边形（非平面多边形）的概念广义化。

考克斯特针对这种图提出一个施莱夫利符号的扩展符号 {l,m|n} ，其中以{l,m}表示其顶点：每个顶点都是m个l边形的公共顶点。他们的顶点图是扭歪多边形，以锯齿的形式存在于两个面中。

能表示为{l,m|n}的正扭歪多面体存在以下等式：

$2\cos({\frac {\pi }{l}})\cos({\frac {\pi }{m}})=\cos({\frac {\pi }{n}})$

第一系列的{l,m|n}正扭歪多面体与五个正多面体和一个星形正多面体相关：

{l, m | n}	面	边	顶点	p	多面体	对称性 阶数
{3,3|3} = {3,3}	4	6	4	0	正四面体	12
{3,4|4} = {3,4}	8	12	6	0	正八面体	24
{4,3|4} = {4,3}	6	12	8	0	立方体	24
{3,5|5} = {3,5}	20	30	12	0	正二十面体	60
{5,3|5} = {5,3}	12	30	20	0	正十二面体	60
{5,5|3} = {5,5/2}	12	30	12	4	大十二面体	60

四维的正扭歪多面体

A4 考克斯特平面投影
{4, 6 | 3}	{6, 4 | 3}
截半五胞体 (60条边、20个顶点)	过截角五胞体 (60条边、30个顶点)
F4 考克斯特平面投影
{4, 8 | 3}	{8, 4 | 3}
截半二十四胞体 (576条边、144个顶点)	过截角二十四胞体 (576条边、288个顶点)
一些位于半正多胞体中的四维扭歪多面体的投影

考克斯特在他的论文《三维和四维空间的正扭歪多面体及其类似物》中列出了较多的一系列扭歪多面体。

偶数皆扭歪多面体

{l, m | n}	面	边	顶点	p	结构	对称性	阶数	相关半正多胞体
{4,4| 3}	9	18	9	1	D3xD3	[[3,2,3]+]	9	3-3 超柱体
{4,4| 4}	16	32	16	1	D4xD4	[[4,2,4]+]	16	4-4 超柱体 或 超立方体
{4,4| 5}	25	50	25	1	D5xD5	[[5,2,5]+]	25	5-5 超柱体
{4,4| 6}	36	72	36	1	D6xD6	[[6,2,6]+]	36	6-6 超柱体
{4,4| n}	n2	2n2	n2	1	DnxDn	[[n,2,n]+]	n2	n-n 超柱体
{4,6| 3}	30	60	20	6	S5	[[3,3,3]+]	60	截半五胞体
{6,4| 3}	20	60	30	6	S5	[[3,3,3]+]	60	过截角五胞体
{4,8| 3}	288	576	144	73		[[3,4,3]+]	576	截半二十四胞体
{8,4| 3}	144	576	288	73		[[3,4,3]+]	576	截半二十四胞体

五角星形的扭歪多面体

{l, m | n}	面	边	顶点	p	结构	对称性	阶数	相关的多胞体
{4,5| 5}	90	180	72	10	A6	[[5/2,5,5/2]+]	360	截半大星形一百二十胞体
{5,4| 5}	72	180	90	10	A6	[[5/2,5,5/2]+]	360	过截角大星形一百二十胞体

参见

• 扭歪多边形

参考文献

1. Peter McMullen, Four-Dimensional Regular Polyhedra, Discrete & Computational Geometry September 2007, Volume 38, Issue 2, pp 355-387
2. Coxeter, Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
3. Kaleidoscopes: Selected Writings of H. S. M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）
   • (Paper 2) H.S.M. Coxeter, "The Regular Sponges, or Skew Polyhedra", Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
   • (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
   • (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
4. Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8
   • Coxeter, H. S. M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
5. Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179-1186, 1967.
6. Schulte, Egon and Wills, Jörg M. On Coxeter's regular skew polyhedra. Discrete mathematics (Elsevier). 1986, 60: 253–262 [2016-08-01]. （原始内容存档于2020-07-12）.