数学理论物理中,'超代数指的是Z2-分次代数[1]也就是说,它是交换环上的代数,可以分解为“奇偶”两部分,并有对次数进行运算的乘法算子。

“超”来自理论物理中的超对称。超代数及其表示(超模)为超对称提供了代数框架。对这类对象的研究有时也被称作超线性代数。超代数在相关的超几何领域也发挥着重要作用,它们进入了分次流形超流形和超概形。

形式定义

K交换环。在大多数应用中,K特征为0的,如RC等。

K上的超代数是具有直和分解的K-A

 

以及双射乘法 ,使

 

其中下标读作2,即将其看做 的元素。

超环 分次环整数 上的超代数。 每个 中的元素称作齐次的。齐次元x奇偶性记作|x|,根据是在 还是在 中取0或1的值。称奇偶性为0的元素是的,奇偶性为1的元素是的。若xy都齐次,则积xy也齐次,且 

结合超代数指乘法符合结合律的超代数,含幺超代数是指有乘法单位元的超代数。含幺超代数中的单位元必须是偶的。除非另有说明,本文中所有超代数都假定是结合含幺的。

交换超代数(或超交换代数)是一种满足交换律的分次版本的超代数。具体来说,若对A中所有齐次元xy

 

则称A交换。有些超代数在普通意义上是交换的,而在超代数意义上不是,因此为避免混淆,交换超代数常称作“宠爱交换”。[2]

例子

  • 交换环K上任意代数都可视作K上的纯偶超代数,即将 视作平凡的。
  • 任何Z-或N-分次代数都可通过读取次数模2被视为超代数。这包括张量代数K上的多项式环等例子。
  • 特别地,K上任何外代数都是超代数,外代数是超交换代数的标准例子。
  • 对称多项式交替多项式分别构成同一超代数的偶部分和奇部分,注意这是与分次不同的分级。
  • 克利福德代数是超代数,通常是非交换的。
  • 超向量空间所有自同态的集合(记作 ,其中粗体的 被称作内部(interval) ,由所有线性映射组成)形成了组合运算下的超代数。
  • 元素属于K的所有超方阵的集合形成了超代数,记作 。此代数可以视作等同于秩为 K上自由超模的自同态代数,是这空间的内部Hom。
  • 李超代数李代数的分次类似物。李超代数是无幺、非结合的,但可以构造类似于李超代数的泛包络代数,它是含幺结合超代数。

进一步的定义与构造

偶子代数

A为交换环K上的超代数。子模 包含所有偶元,对乘法封闭,包含A的单位元,因此形成了A子代数,自然地称作偶子代数,构成了K上的普通代数

所有奇元素 的集合是 -双模,其标量乘法就是A中的乘法。A中的积使 具有双线性形式

 

使得 

 

这源于A中积的结合性。

次对合

任何超代数上都有规范的对合自同构,称作次对合(grade involution),在齐次元上表为

 

在任意元上表为

 

其中 x的齐次部分。若A无2-扭子(特别是若2可逆),则次对合可区分A的奇偶部分:

 

超交换

A上的超交换子(supercommutator)是齐次元的二元运算

 

并可以线性推广到A的所有元素。若 ,称xy超交换

A超中心(supercenter)是A中与所有元素超交换的元素集合:

 

一般来说A的超中心与作为未分次代数的特征的中心不同。交换超代数的超中心是A的全部元素。

超张量积

两超代数AB的分次张量积可视作超代数 ,乘法规则为

 

AB是纯偶的,则这等同于普通的未分次张量积(不过结果是分次的)。但总之,超张量积一般不同于将AB视作普通未分次代数的张量积。

推广与范畴论定义

可以很容易地将超代数的定义推广到包括交换超环上的超代数。上述定义是基环为纯偶的特例。

R为交换超环。R上的超代数(superalgebra)是R-超模A,具有遵从分次的R-双线性乘法 。此处双线性意味着对所有齐次元 

 

等价地,可以把R上的超代数定义为超环A与超环同态 ,其像位于A的超中心。

超代数还有范畴论定义。所有R-超模组成的范畴在超张量积下形成幺半范畴(monoidal category)(R为单位对象)。接着,R上的结合含幺超代数可定义为R-超模范畴中的幺半对象(monoid);即,超代数是具有两个(偶)态射

 

R-超模A,其通常图是交换的。

注释

  1. ^ Kac, Martinez & Zelmanov 2001,第3页
  2. ^ Varadarajan 2004,第87页

参考文献