用户:A05945z1/微积分历史

微积分是一门研究无穷小的计算的学问，专注于对极限、函数、微分、积分和无穷级数的研究。 十七世纪中期，由艾萨克·牛顿和哥特佛莱德·莱布尼兹同时并且独立发展了这门学问，但因双方的支持者皆有宣称对方剽窃其研究成果，而引发微积分起源争议的论战。

微积分的前身

古代

阿基米德利用不断逼近的方法计算一个圆内的面积

微积分中积分的一些概念在古代就已经被提出，但是这些概念没有被建构成严谨而有系统性的理论。

从古埃及数学中的文物莫斯科数学莎草纸(公元前1820年)的记载中可以发现当时研究积分的一个目的是计算体积和面积，但是这些公式只适用于一些数字，有些公式只能求出近似值，而且不是用推论演绎的方式导出结果。

巴比伦人可能在进行木星观测时就已经发现了梯形公式。

从希腊时代开始，欧多克索斯（公元前408-355）使用穷竭法奠基了极限的概念，并用以计算面积和体积，而阿基米德（公元前287-212）进一步发展了这个想法，发明类似于积分的启发法。希腊数学家也大量使用无穷小量的概念，然而此时期无穷小的概念可以被理解成还未建立在严格的基础上，因为只有可以被几何证明支持的论点，才是当时希腊数学家广为接受的。德谟克利特是记载中第一个思考如何将物体划分为无限多个截面的人，但最终无法说服自己接受这个想法。大约在同一时间，埃利亚的芝诺提出了芝诺悖论，进一步质疑无穷小的概念。

中世纪

公元四世纪，刘辉提出一套新的穷竭法用于近似圆，而后由祖冲之及祖暅之发展成可求出球体体积的祖暅原理。在中东，海什木也利用他导出的四次方数的公式计算抛物面的体积。十四世纪时，印度数学家Madhava of Sangamagrama和喀拉拉邦天文及数学学院提出了微积分组成中的重要概念，例如泰勒级数和无穷级数的近似。然而此时还无法将微分和积分相互连结，将微积分发展成今日强大的解决问题工具。

近代

自然对数是双曲线$\ f(t)\ =\ {\frac {1}{t}}\$下，从$t=1\$到$t=x\$之间所形成的面积

十七世纪，欧洲数学家伊萨克·巴罗、勒内·笛卡儿、皮埃尔·德·费马、布莱兹·帕斯卡、约翰·沃利斯等人讨论了导数的概念。特别是皮埃尔·德·费马所发展的，用于判断曲线上的最大、最小值以及切线的，非常接近现今微分的方法。艾萨克·牛顿后来写到，自己关于微积分的早期灵感是源自于“费马绘制切线的方式”。

伊萨克·巴罗给出了第一个微积分基本定理的完整证明。

建立一个实数函数的微积分，其中一个先决条件是找到有理函数$\ f(x)\ =\ {\frac {1}{x}}\$的反导数，该问题也可被表示成$\ xy=1$。1647年，Grégoire de Saint-Vincent指出反导数$F$满足$F(st)=F(s)+F(t)$的性质，使得在函数$F$之下，等比数列可表成等差数列的形式。A. A. de Sarasa将此特征用于称为“对数”的当代算法，将乘法转换成加法以简化算术过程。因此$F$最开始是以“双曲线对数”的名称为人所知。从李昂哈德·欧拉发展了$e=2.71828...$之后，$F$被确定是指数函数的反函数，自此之后$F$被称为自然对数，满足${\frac {dF}{dx}}\ =\ {\frac {1}{x}}$

罗尔定理的第一个证明是由米歇尔·罗尔在1691年提出，使用了荷兰数学家Johannes Hudde的方法。现代形式的中间值定理也在现代微积分建立之后由伯纳德·波尔查诺和奥古斯丁·路易·柯西给出明确阐述。其他如伊萨克·巴罗和克里斯蒂安·惠更斯等其他数学家也有许多重要贡献。

牛顿和莱布尼兹

艾萨克·牛顿

哥特佛莱德·莱布尼兹

在牛顿和莱布尼兹之前，“微积分”这个词分别在一些数学领域被提及讨论，但在牛顿和莱布尼兹发展微积分的几年之中，“微积分”成为描述由他们的见解所建构的数学新领域的流行名词。牛顿和莱布尼兹在十七世纪后期分别独立发展了关于无穷小量的周边理论，其中莱布尼兹致力于发展一致且好用的符号和概念，牛顿则为物理学提供了一些非常重要的应用。 此节描述牛顿和莱布尼兹对微积分(无穷小的计算)的研究和发展，特别是他们用以理解微积分的解释和术语。

牛顿所发展的微积分是他在物理学和几何学的研究下的一部分，他将微积分视为运动和大小的科学描述。相较之下，莱布尼兹专注于切线问题，并相信微积分是对变化的形而上学解释。重要的是，他们的见解形式化了微分和积分函数之间的可逆性，虽然已经有不少前人提出相同的观点，但他们是首先将微积分视为一个新系统，并提出新的术语和解释的人。

牛顿

牛顿没有以任何正式的形式出版他的流数微积分，他的许多数学发现都是透过通信、短文或在其他由他汇编的著作中稍微提及，例如《自然哲学的数学原理》和《光学》。牛顿开始接受数学训练是从他被指定为剑桥大学的伊萨克·巴罗的接班人之后，他很快的就掌握了当代的定理，并且能力也获得认可。1664年，牛顿在二项式定理的发展上给出了他的第一个重要贡献：透过利用有限代数进行无穷级数的分析，将二项式定理扩展到分数和负数指数上。这个贡献提出一个看待无穷级数的新思维，即不只将无穷级数当成一个近似的工具，还可以用来做为一个数或代数的不同表达形式。

牛顿在1665到1666年间有许多重要贡献，也因此他将这段时间形容为“我一生中发明和思考数学以及自然哲学的黄金时期”，这段期间他将流数微积分的概念写在他未出版的文章《用无穷级数分析》中。在这篇文章中，牛顿提出透过计算曲线上的瞬时变化率来得到曲线下的面积，此时他已经意识到微分和积分的重要关系，即微积分基本定理，但碍于当时逻辑上的限制，牛顿因此声明他的推导只是一个简短的解释，并不是完整而精确的证明。

牛顿在1671年编写了《流数法》，为微积分提出更严谨的解释和框架。此书中他用数学作为解释物理世界的工具，非正式的使用瞬时运动和无穷小的概念，使用严格的经验主义定义和建构了流数微积分。他针对连续运动重新定义了他的计算，对牛顿来说，一个变量不是由其无穷小的元素所组成，而是由“运动”这个铁的事实产生的。和他许多其他成果一样，《流数法》直到1736年才被发表。

牛顿试图将计算建构在变化率上来避免使用无穷小，在《流数法》中，他定义产生变化率的对象为变量(英语: fluent)；产生的变化率为流数(英语: fluxion)，以在变量上加一个点表示，例如：若$x$是变量，则${\dot {x}}$为$x$的流数。