星形八面體
在幾何學中，星形八面體（英語：Stellated octahedron）是八面體中唯一的星形多面體，是一種二複合四面體，又稱為八角星體（英語：stella octangula、拉丁語為eight-pointed star，意為八角星[註 1]），在1609時由約翰內斯·克卜勒命名，然而他是位早期的幾何學家。事實上，早在1509年，盧卡·帕西奧利已經在其作品神曲中描繪了此種多面體[2]。
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| 類別 | 複合正多面體 | |||||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 對偶多面體 | 二複合正四面體 | |||||||||||
| 識別 | ||||||||||||
| 名稱 | 星形八面體 | |||||||||||
| 參考索引 | W19 | |||||||||||
| 數學表示法 | ||||||||||||
| 考克斯特符號 | {4,3}[2{3,3}]{3,4}[1] | |||||||||||
| 施萊夫利符號 | {{3,3}} a{4,3} ß{2,4} ßr{2,2} | |||||||||||
| 性質 | ||||||||||||
| 體 | 2 | |||||||||||
| 面 | 8 | |||||||||||
| 邊 | 12 | |||||||||||
| 頂點 | 8 | |||||||||||
| 歐拉特徵數 | F=8, E=12, V=8 （χ=4） | |||||||||||
| 組成與佈局 | ||||||||||||
| 複合幾何體數量 | 2 | |||||||||||
| 複合幾何體種類 | 2個正四面體 | |||||||||||
| 面的種類 | 8個正三角形 | |||||||||||
| 對稱性 | ||||||||||||
| 對稱群 | chiral octahedral (Oh) | |||||||||||
| 旋轉對稱群 | chiral tetrahedral (Td) | |||||||||||
| 圖像 | ||||||||||||
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歷史
1509年，盧卡·帕西奧利首先描述了該複合體，並將其在作品神曲中描繪[2]。1609年約翰內斯·克卜勒將其命名。埃德蒙·赫斯在1876年將其與其他複合體一同描述、提出。1974年，馬格努斯·J·溫尼爾將星形八面體歸類在溫尼爾多面體模型中並給予編號W19，並記錄於《多面體模型》中[3]。
複合多面體
在幾何學中，星形八面體又被稱為二複合四面體，是一種凹多面體，屬於星形多面體，外觀看起來像兩個正四面體卡在一起。這可以被看作是多面體和星形多面體的複合體，由兩個正四面體構成，由於正四面體屬於自身對偶多面體，因此組合成的星形八面體的對偶多面體也是自己。
正八面體的星形僅有一種，即是上述由兩個正四面體構成的星形八面體。此外，此多面體也可以看做是一個三角化的八面體，但與卡塔蘭立體中的三角化八面體不同。
它可以由安排在對稱群為八面體旋轉對稱(Oh)的的幾何結構中。
結構
星形八面體可以用幾種方式構成：
 立體圖 |
 星狀平面 |
星狀圖是正八面體，以黃色星狀平面表示 |
- 也可以將兩個正四面體交錯卡在一起構成（一個正四面體和它的對偶四面體構成）
- 也可藉由正八面體透過Kleetope變換構成，即在正八面體的每個面上加入角錐。這種結構與卡塔蘭立體中的三角化八面體有著相同的拓樸結構。
- 它與是立方體的所有割面共用相同的頂點排佈。
 立方體的所有三角形割面可構成星形八面體 |
 立方體的其中一個三角形割面以紅色表示 |
文化
- 角色扮演遊戲《Fate/Grand Order》中的聖晶石。
- VOCALOID 4聲庫「星塵」手上托著的小星星是星形八面體形狀。
- 奇蹟暖暖「雲空之境」活動的羈絆之辰[4]。
參見
注釋
參考文獻
- ^ Regular polytopes, pp.48-50, p.98
- ^ 2.0 2.1 Barnes, John, Shapes and Solids, Gems of Geometry, Springer: 25–56, 2009, ISBN 978-3-642-05091-6, doi:10.1007/978-3-642-05092-3_2.
- ^ Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
- ^ 《奇迹暖暖》云空之境活动规则详解 活动玩法技巧分享. [2019-01-25]. （原始內容存檔於2020-03-16）.
- Coxeter, HSM, Regular Polytopes, 3rd Edn., Dover 1973.
- Coxeter, Harold Scott MacDonald; Du Val, P.; Flather, H. T.; Petrie, J. F. The Fifty-Nine Icosahedra 3rd. Tarquin. 1999. ISBN 978-1-899618-32-3. MR 0676126. (1st Edn University of Toronto (1938))
- 埃里克·韋斯坦因. Tetrahedron 5-Compound. MathWorld.
- Metal Sculpture of Five Tetrahedra Compound （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
- VRML model: [1]
- Compounds of 5 and 10 Tetrahedra （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） by Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project.
延伸閱讀
- Wenninger, Magnus. Polyhedron Models. Cambridge University Press. 1974. ISBN 0-521-09859-9.
外部連結
- 埃里克·韋斯坦因. Stella Octangula. MathWorld.
- 埃里克·韋斯坦因. Compound of two tetrahedra. MathWorld.
- Klitzing, Richard. 3D compound. bendwavy.org.