純量場論

理論物理學中，純量場論可以指相對論不變的經典或量子的純量場理論。純量場在任何洛倫茲變換下都是不變的。

自然界中唯一觀測到的基本純量量子場是希格斯場。純量量子場也出現在很多物理現象的有效場論描述中，例如π介子，實際上是偽純量。

由於不涉及極化的複雜問題，純量場往往最容易理解二次量子化。所以，純量場論常用於介紹新概念和新技術。

下面所用的度量的符號為 (+, −, −, −)。

經典純量場論

更多資訊：拉格朗日量

本節的一般參考文獻是Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second Edition). USA: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3, Ch 1.

線性（自由）理論

最基本的純量場論是線性理論。通過場的傅立葉分解，可表示無窮多耦合諧振子的簡正模，其中諧振子的序號i的縮放極限現表示為x。則，相對論不變的純量場論的作用量可寫作

${\begin{aligned}{\mathcal {S}}&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right]\\[6pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right],\end{aligned}}$

其中${\mathcal {L}}$稱作拉格朗日密度；${\rm {d}}^{4-1}x\equiv {\rm {d}}x\cdot {\rm {d}}y\cdot {\rm {d}}z\equiv {\rm {d}}x^{1}\cdot {\rm {d}}x^{2}\cdot {\rm {d}}x^{3}$表示三個空間坐標；$\delta _{ij}$是克羅內克δ函數；$\partial _{\rho }=\partial /\partial x^{\rho }$表示第$\rho$個坐標$x^{\rho }$。

這是二次作用量的一個例子，因為每項都是場φ的二次項。與$m^{2}$成比例的項有時稱作質量項，這是因為它在量子化版本中被解作粒子質量。

理論的運動方程由極限化上述作用得到，形式如下，與φ呈線性關係：

$\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +m^{2}\phi =\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +m^{2}\phi =0~,$

其中∇²是拉普拉斯算子。這就是克萊因-戈爾登方程，被解釋為經典場方程，而非量子力學波動方程。

非線性（相互作用）理論

上述線性理論最常見的推廣是在拉格朗日量中加入純量勢$V(\Phi )$，通常除了質量項之外，V還是$\Phi$的多項式。這種理論有時被稱作相互作用理論，因為歐拉-拉格朗日方程現在是非線性的，意味著自相互作用。最一般的此類理論的作用量是

${\begin{aligned}{\mathcal {S}}&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}\\[3pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi -V(\phi )\right]\\[3pt]&=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[{\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}g_{n}\phi ^{n}\right]\end{aligned}}$

如下所述，在量子理論的費曼圖展開中，引入n!因子是有用的。

相應的歐拉-拉格朗日方程是

$\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi +V'(\phi )=\partial _{t}^{2}\phi -\nabla ^{2}\phi +V'(\phi )=0.$

維度分析與縮放

主條目：自然單位制 § 「自然單位制」（粒子物理學）

這些純量場論中的物理量可能具有長度、時間或質量維度，或三者的某種組合。

不過，相對論中，任何具有時間維度的量t都可用光速c輕易轉換為長度$l=ct$；任何長度l也可由普朗克常數$\hbar$表示為$\hbar =lmc$。自然單位制中，可以將時間看做長度，將它們看做質量的倒數。

總之可以認為，任何物理量的維度都由一個獨立的維度定義，而非由所有三個維度定義，這通常稱為物理量的質量維。知道了每個量的維度，就可從自然單位表達式中唯一地恢復常規維度，重新插入維度一致所需的$\hbar$與c的冪即可。

可以預想反對意見：這理論是經典理論，因此普朗克常數的地位不明顯。我們確實可以無質量維地重構它，但這會稍微模糊語量子純量場的關係。鑑於有質量維，普朗克常數這裡被認為是本質上隨機地固定的作用參考量（不一定與量子化有關），於是其維度適於在質量和逆長度之間轉換。

縮放維度

φ的經典縮放維度或質量維度Δ描述了坐標縮放變換下的場變換：

$x\rightarrow \lambda x$

$\phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi ~.$

作用量單位與ħ的單位相同，因此作用量本身的質量維為零。這就將場φ的縮放維度固定為

$\Delta ={\frac {D-2}{2}}.$

標度不變性

某些純量場論在某種意義上是標度不變的。雖然上述作用都被構造為零質量維，但並非所有作用都在縮放變換

$x\rightarrow \lambda x$

$\phi \rightarrow \lambda ^{-\Delta }\phi ~$

下不變。

並非所有作用量都不變，這是因為人們常把參數m、$g_{n}$視作定值，在上述變換下不變。因此，純量場論具有標度不變性的條件非常明顯：作用量的所有參數都應是無量綱量。 即，標度不變理論就是沒有任何固定尺度的理論。

對D維時空的純量場論，唯一的無量綱參數$g_{n}$滿足$n={\frac {2D}{D-2}}$。例如，D=4維時空中，只有$g_{4}$是經典無量綱的，因此D=4時空中唯一經典標度不變的標準純量場論是無質量的φ⁴理論。

不過，由於涉及重整化群，經典標度不變通常不意味著量子標度不變，詳見下文貝塔函數的討論。

共形不變性

變換

$x\rightarrow {\tilde {x}}(x)$

若對某函數$\lambda (x)$，滿足

${\frac {\partial {\tilde {x^{\mu }}}}{\partial x^{\rho }}}{\frac {\partial {\tilde {x^{\nu }}}}{\partial x^{\sigma }}}\eta _{\mu \nu }=\lambda ^{2}(x)\eta _{\rho \sigma }$

則稱作共形的。

共形群包含度量$\eta _{\mu \nu }$的等距子群（龐加萊群），以及上文提到的標度變換（或標度不變性）。事實上，前述標度不變理論也是共形不變的。

φ⁴理論

φ⁴理論說明了純量場論中的許多有趣現象。拉格朗日密度為

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{t}\phi )^{2}-{\frac {1}{2}}\delta ^{ij}\partial _{i}\phi \partial _{j}\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}.$

自發對稱破缺

參見：自發對稱破缺

這拉格朗日量在變換$\varphi \to -\varphi$下有$\mathbb {Z} _{2}$對稱性。這是內部對稱性的一個例子，與時空對稱性不同。

若$m^{2}$為正，勢

$V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}$

在原點有單一極小值。解$\varphi =0$在$\mathbb {Z} _{2}$對稱下顯然是不變的。

反之，若$m^{2}$為負，則很容易看到勢

$\,V(\phi )={\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}+{\frac {g}{4!}}\phi ^{4}\!$

有兩個極小值。這就是所謂雙阱勢，這種理論中，最低能態（量子場論稱作空穴）在$\mathbb {Z} _{2}$對稱下並不是不變的（實際上會將兩個空穴映射到對方）。這時，$\mathbb {Z} _{2}$對稱發生自發破缺。

扭狀解

具有負$m^{2}$的φ⁴理論也有扭狀解（kink solution），是孤波的典型例子。這種解的形式為

$\phi ({\vec {x}},t)=\pm {\frac {m}{2{\sqrt {\frac {g}{4!}}}}}\tanh \left[{\frac {m(x-x_{0})}{\sqrt {2}}}\right]$

其中x是空間變量之一（φ、t及其他空間變量彼此無關）。解在雙阱勢的兩個不同空穴之間插值。若沒有能量無窮大的解，就無法將扭變形為恆定解，因此扭狀解也稱作穩定解。對D>2（即具有多個空間維度的理論），這種解稱作疇壁（domain wall）。

另一個具有扭狀解的純量場論的著名例子是正弦-戈爾登方程理論。

復純量場論

在復純量場論中，純量場在複數中取值。復純量場表示自旋為零的粒子和帶點和的反粒子。通常考慮的作用形式為

${\mathcal {S}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t{\mathcal {L}}=\int \mathrm {d} ^{D-1}x\,\mathrm {d} t\left[\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial _{\nu }\phi -V(|\phi |^{2})\right]$

具有U(1)對稱性，等價於O(2)對稱性，對場空間的作用是旋轉$\phi \rightarrow e^{i\alpha }\phi$，相角α為實數。

而實純量場，若$m^{2}$為負，就會發生自發對稱破缺。這產生了戈德斯通的墨西哥帽勢，是實純量場的雙阱勢繞$V(\phi )$軸旋轉2π弧度。對稱性破缺發生在更高維度，即空穴的選擇，打破了連續的U(1)對稱性，而非離散的。純量場的兩分量被重構為大規模模型（massive mode）與無質量戈德斯通玻色子。

O(N)理論

主條目：sigma模型

可用兩個實場表示復純量場論：$\varphi ^{1}={\rm {Re}}\varphi ,\ \varphi ^{2}={\rm {Im}}\varphi$，在U(1) = O(2)內部對稱的向量表示下進行變換。雖然這些場在內部對稱下轉換為向量，但仍是洛倫茲純量。

這可以推廣到在O(N)對稱的向量表示下變換的N個純量場。O(N)不變的純量場論的拉格朗日量通常是以下形式的：

${\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \cdot \partial _{\nu }\phi -V(\phi \cdot \phi )$

內積需要是適當O(N)不變的。該理論也可用復向量場表示，即$\forall \phi \in \mathbb {C} ^{n}$，這時對稱群是李群SU(N)。

規範場耦合

純量場論以一種規範不變的方式與楊-米爾斯作用耦合，就得到了超導的金茲堡-朗道方程。這理論的拓撲孤子對應超導體中的渦流；墨西哥帽勢的極小值對應超導體的階參數。

量子純量場論

主條目：正則量子化 § 場算符

本節的一般參考文獻為Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second Edition). USA: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3, Ch. 4

量子場論中，場與所有可觀測量都表示為希爾伯特空間上的量子算子。這希爾伯特空間建立在真空態上，動力學受到量子哈密頓算符支配，是湮滅真空的正定算符。量子純量場的構造詳見正則量子化條目，依賴於場之間的正則對易關係。根本上，在純量場中作為其（解耦）簡正模組合成的經典諧振子現在以標準方式進行了量子化，於是相應的量子算符場描述了作用於相應福克空間的量子諧振子。

總之，基本變量是量子場φ及其正則動量π。這兩個算子值場都是厄米的。在空間點${\vec {X}},\ {\vec {y}}$、時間相等時，其正則對易關係為

${\begin{aligned}\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\phi \left({\vec {y}}\right)\right]=\left[\pi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]&=0,\\\left[\phi \left({\vec {x}}\right),\pi \left({\vec {y}}\right)\right]&=i\delta \left({\vec {x}}-{\vec {y}}\right),\end{aligned}}$

而自由哈密頓算符則與之相似，

$H=\int d^{3}x\left[{1 \over 2}\pi ^{2}+{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}\right].$

空間傅立葉變換產生動量空間場

${\begin{aligned}{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})&=\int d^{3}xe^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\phi ({\vec {x}}),\\{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})&=\int d^{3}xe^{-i{\vec {k}}\cdot {\vec {x}}}\pi ({\vec {x}})\end{aligned}}$

解析為湮滅與創生算子

${\begin{aligned}a({\vec {k}})&=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})+i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\\a^{\dagger }({\vec {k}})&=\left(E{\widetilde {\phi }}({\vec {k}})-i{\widetilde {\pi }}({\vec {k}})\right),\end{aligned}}$

其中$E={\sqrt {k^{2}+m^{2}}}$。

算子滿足對易關係

${\begin{aligned}\left[a({\vec {k}}_{1}),a({\vec {k}}_{2})\right]=\left[a^{\dagger }({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]&=0,\\\left[a({\vec {k}}_{1}),a^{\dagger }({\vec {k}}_{2})\right]&=(2\pi )^{3}2E\delta ({\vec {k}}_{1}-{\vec {k}}_{2}).\end{aligned}}$

被所有算子a湮滅的狀態$|0\rangle$稱作裸真空，對真空施加$a^{\dagger }({\vec {k}})$就會產生動量為${\vec {k}}$的粒子。

將所有可能創生算子組合應用於真空，就能構建出相關的希爾伯特空間：這種構造稱作福克空間。真空由哈密頓算符

$H=\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}{\frac {1}{2}}a^{\dagger }({\vec {k}})a({\vec {k}})$

湮滅，其中零點能被Wick排序消除。（見正則量子化）

相互作用可由相互作用哈密頓量實現。對φ⁴理論，這相當於給哈密頓量添加Wick有序項$g:\ \varphi ^{4}:/4!$，並對x積分。散射振幅可用相互作用繪景中的哈密頓量計算，是由戴森級數在微擾理論中構建的，戴森級數給出了時間有序積或n粒子格林函數$\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle$。格林函數也可從求解施溫格-戴森方程所構建的生成函數中獲得。

參見：量子諧振子 § 耦合諧振子

費曼路徑積分

費曼圖展開也可從費曼路徑積分表述中獲得。φ多項式的時序真空期望值，即n粒子格林函數，是對所有可能的場進行積分，並以無外場時的真空期望值歸一化得到的：

$\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle ={\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}{\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}\right)}}}.$

所有這些格林函數都可通過擴展生成函數中$J(x)\varphi (x)$的指數來獲得：

$Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{i\int d^{4}x\left({1 \over 2}\partial ^{\mu }\phi \partial _{\mu }\phi -{m^{2} \over 2}\phi ^{2}-{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right)}=Z[0]\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {i^{n}}{n!}}J(x_{1})\cdots J(x_{n})\langle 0|{\mathcal {T}}\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|0\rangle .$

可用威克轉動將時間變為虛數。將符號變為(++++)後，費曼積分即變為歐氏空間中的配分函數：

$Z[J]=\int {\mathcal {D}}\phi e^{-\int d^{4}x\left[{1 \over 2}(\nabla \phi )^{2}+{m^{2} \over 2}\phi ^{2}+{g \over 4!}\phi ^{4}+J\phi \right]}.$

通常，這適於定動量粒子的散射，這時傅立葉變換往往有用，可得

${\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}e^{-\int {d^{4}p \over (2\pi )^{4}}\left({1 \over 2}(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}-{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}+{g \over 4!}{\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}\right)}.$

其中$\delta (x)$是狄拉克δ函數。

評估這泛函積分的標準技巧是將其寫成指數因子之積，即

${\tilde {Z}}[{\tilde {J}}]=\int {\mathcal {D}}{\tilde {\phi }}\prod _{p}\left[e^{-(p^{2}+m^{2}){\tilde {\phi }}^{2}/2}e^{-g/4!\int {d^{4}p_{1} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{2} \over (2\pi )^{4}}{d^{4}p_{3} \over (2\pi )^{4}}\delta (p-p_{1}-p_{2}-p_{3}){\tilde {\phi }}(p){\tilde {\phi }}(p_{1}){\tilde {\phi }}(p_{2}){\tilde {\phi }}(p_{3})}e^{{\tilde {J}}{\tilde {\phi }}}\right].$

後兩個指數因子可展開為冪級數，這種展開的組合可用四次相互作用的費曼圖表示。

g = 0的積分可視作無窮多基本高斯積分之積：結果可用費曼圖之和表示，計算時使用以下費曼法則：

• n點歐氏格林函數中的每個場$\sim \varphi (p)$都由圖中的一條外線（半邊）表示，並與動量p相關聯。
• 每個頂點用因子−g表示。
• 在給定階$g^{k}$時，所有具有n條外線和k個頂點的圖都是這樣構造的：流入頂點的動量均為零。每條內線表示為傳播子$1(q^{2}+m^{2})$，其中q是流經線的動量。
• 任何無約束動量都對所有值積分。
• 結果除以對稱性係數，即在不改變連通性的前提下，重排圖的線與頂點的方式數。
• 不包括函「真空泡」的圖，即無外線的聯通子圖。

最後一條規則考慮了除以$\sim Z[0]$的影響。閔氏空間的費曼法則與此類似，只是頂點用−ig表示，內線用傳播子$i/(q^{2}-m^{2}+i\varepsilon )$表示，$\varepsilon$項代表使{閔氏空間高斯積分收斂的微小威克旋轉。

重整化

主條目：Β函數_(物理學)和重整化群

費曼圖中對無約束動量的積分（稱為「環路積分」，loop integral）通常會發散。這一般用重整化處理，即在拉格朗日量中加入發散的相反項，從而使原拉格朗日量和反項構建的圖收斂。這過程中必須引入重整化標度， 耦合常數與質量都取決於它。

耦合常數g在標度$\lambda$上的依賴由β函數$\beta (g)$編碼，定義是

$\beta (g)=\lambda \,{\frac {\partial g}{\partial \lambda }}~.$

這種對能量標度的依賴稱作「耦合參數的運行」，量子場論中這種系統標度依賴的理論由重整化群描述。

β函數通常用近似方法計算，最常見的是微擾理論，即假定耦合常數很小。然後，便可以對耦合參數進行冪級數展開，並截去高階項（也稱為高環貢獻。與相應費曼圖的環數有關）。

φ⁴理論的一環β函數（第一微擾貢獻）是

$\beta (g)={\frac {3}{16\pi ^{2}}}g^{2}+O\left(g^{3}\right)~.$

最低階項前面的符號為正，表明耦合常數隨著能量增加。這種行為在大規模耦合時若也存在，將表明在有限能量下存在朗道極點，是由量子平凡性引起的。然而，這問題只能以非微擾形式回答，因為涉及強耦合。

當由β函數計算得重整化耦合在紫外截止被移除後歸零時，稱相應的量子場論是平凡的。這樣，傳播子變成了自由粒子的，場不再相互作用。

Michael Aizenman證明，在時空維度D ≥ 5的情形下，φ⁴相互作用理論是平凡的。

對D = 4，平凡性尚未得到嚴格證明，但晶格計算為此提供了有力證據。這一事實非常重要，因為量子平凡性可用於約束、甚至預測希格斯玻色子質量等量的參數。這也可以導致在漸進安全情形下的可預測希格斯玻色子質量。

另見

• 重整化
• 量子平凡性
• 純量電動力學

參考文獻

• Peskin, M.; Schroeder, D. An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press. 1995. ISBN 978-0201503975. 
• Weinberg, S. The Quantum Theory of Fields I. Cambridge University Press. 1995. ISBN 0-521-55001-7.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
• Weinberg, S. The Quantum Theory of Fields II. Cambridge University Press. 1998. ISBN 0-521-55002-5.  含有內容需登入查看的頁面 (link)
• Srednicki, M. Quantum Field Theory. Cambridge University Press. 2007. ISBN 9780521864497. 
• Zinn-Justin, J. Quantum Field Theory and Critical Phenomena. Oxford University Press. 2002. ISBN 978-0198509233. 

外部連結

• The Conceptual Basis of Quantum Field Theory （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） Click on the link for Chap. 3 to find an extensive, simplified introduction to scalars in relativistic quantum mechanics and quantum field theory.