标量场论

理论物理学中,标量场论可以指相对论不变的经典量子标量场理论。标量场在任何洛伦兹变换下都是不变的。[1]

自然界中唯一观测到的基本标量量子场是希格斯场。标量量子场也出现在很多物理现象的有效场论描述中,例如π介子,实际上是伪标量[2]

由于不涉及极化的复杂问题,标量场往往最容易理解二次量子化。所以,标量场论常用于介绍新概念和新技术。[3]

下面所用的度量的符号为 (+, −, −, −)

经典标量场论

本节的一般参考文献是Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second Edition). USA: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3, Ch 1.

线性(自由)理论

最基本的标量场论是线性理论。通过场的傅立叶分解,可表示无穷多耦合谐振子简正模,其中谐振子的序号i缩放极限现表示为x。则,相对论不变的标量场论的作用量可写作

 

其中 称作拉格朗日密度 表示三个空间坐标; 克罗内克δ函数 表示第 个坐标 

这是二次作用量的一个例子,因为每项都是场φ的二次项。与 成比例的项有时称作质量项,这是因为它在量子化版本中被解作粒子质量。

理论的运动方程由极限化上述作用得到,形式如下,与φ呈线性关系:

 

其中∇2拉普拉斯算子。这就是克莱因-戈尔登方程,被解释为经典场方程,而非量子力学波动方程。

非线性(相互作用)理论

上述线性理论最常见的推广是在拉格朗日量中加入标量势 ,通常除了质量项之外,V还是 的多项式。这种理论有时被称作相互作用理论,因为欧拉-拉格朗日方程现在是非线性的,意味着自相互作用。最一般的此类理论的作用量是

 

如下所述,在量子理论的费曼图展开中,引入n!因子是有用的。

相应的欧拉-拉格朗日方程是

 

维度分析与缩放

这些标量场论中的物理量可能具有长度、时间或质量维度,或三者的某种组合。

不过,相对论中,任何具有时间维度的量t都可用光速c轻易转换为长度 ;任何长度l也可由普朗克常数 表示为 。自然单位制中,可以将时间看做长度,将它们看做质量的倒数。

总之可以认为,任何物理量的维度都由一个独立的维度定义,而非由所有三个维度定义,这通常称为物理量的质量维。知道了每个量的维度,就可从自然单位表达式中唯一地恢复常规维度,重新插入维度一致所需的 c的幂即可。

可以预想反对意见:这理论是经典理论,因此普朗克常数的地位不明显。我们确实可以无质量维地重构它,但这会稍微模糊语量子标量场的关系。鉴于有质量维,普朗克常数这里被认为是本质上随机地固定的作用参考量(不一定与量子化有关),于是其维度适于在质量和逆长度之间转换。

缩放维度

φ的经典缩放维度或质量维度Δ描述了坐标缩放变换下的场变换:

 
 

作用量单位与ħ的单位相同,因此作用量本身的质量维为零。这就将场φ的缩放维度固定为

 

标度不变性

某些标量场论在某种意义上是标度不变的。虽然上述作用都被构造为零质量维,但并非所有作用都在缩放变换

 
 

下不变。

并非所有作用量都不变,这是因为人们常把参数m 视作定值,在上述变换下不变。因此,标量场论具有标度不变性的条件非常明显:作用量的所有参数都应是无量纲量。 即,标度不变理论就是没有任何固定尺度的理论。

D维时空的标量场论,唯一的无量纲参数 满足 。例如,D=4维时空中,只有 是经典无量纲的,因此D=4时空中唯一经典标度不变的标准标量场论是无质量的φ4理论。

不过,由于涉及重整化群,经典标度不变通常不意味着量子标度不变,详见下文贝塔函数的讨论。

共形不变性

变换

 

若对某函数 ,满足

 

则称作共形的。

共形群包含度量 等距子群(庞加莱群),以及上文提到的标度变换(或标度不变性)。事实上,前述标度不变理论也是共形不变的。

φ4理论

φ4理论说明了标量场论中的许多有趣现象。拉格朗日密度为

 

自发对称破缺

这拉格朗日量在变换 下有 对称性。这是内部对称性的一个例子,与时空对称性不同。

 为正,势

 

在原点有单一极小值。解  对称下显然是不变的。

反之,若 为负,则很容易看到势

 

有两个极小值。这就是所谓双阱势,这种理论中,最低能态(量子场论称作空穴)在 对称下并不是不变的(实际上会将两个空穴映射到对方)。这时, 对称发生自发破缺

扭状解

具有负 φ4理论也有扭状解(kink solution),是孤波的典型例子。这种解的形式为

 

其中x是空间变量之一(φt及其他空间变量彼此无关)。解在双阱势的两个不同空穴之间插值。若没有能量无穷大的解,就无法将扭变形为恒定解,因此扭状解也称作稳定解。对D>2(即具有多个空间维度的理论),这种解称作畴壁(domain wall)。

另一个具有扭状解的标量场论的著名例子是正弦-戈尔登方程理论。

复标量场论

在复标量场论中,标量场在复数中取值。复标量场表示自旋为零的粒子和带点和的反粒子。通常考虑的作用形式为

 

具有U(1)对称性,等价于O(2)对称性,对场空间的作用是旋转 ,相角α为实数。

而实标量场,若 为负,就会发生自发对称破缺。这产生了戈德斯通的墨西哥帽势,是实标量场的双阱势绕 轴旋转2π弧度。对称性破缺发生在更高维度,即空穴的选择,打破了连续的U(1)对称性,而非离散的。标量场的两分量被重构为大规模模型(massive mode)与无质量戈德斯通玻色子

O(N)理论

可用两个实场表示复标量场论: ,在U(1) = O(2)内部对称的向量表示下进行变换。虽然这些场在内部对称下转换为向量,但仍是洛伦兹标量。

这可以推广到在O(N)对称的向量表示下变换的N个标量场。O(N)不变的标量场论的拉格朗日量通常是以下形式的:

 

内积需要是适当O(N)不变的。该理论也可用复向量场表示,即 ,这时对称群是李群SU(N)

规范场耦合

标量场论以一种规范不变的方式与杨-米尔斯作用耦合,就得到了超导的金兹堡-朗道方程。这理论的拓扑孤子对应超导体中的涡流;墨西哥帽势的极小值对应超导体的阶参数。

量子标量场论

本节的一般参考文献为Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second Edition). USA: Westview Press. ISBN 0-201-30450-3, Ch. 4

量子场论中,场与所有可观测量都表示为希尔伯特空间上的量子算子。这希尔伯特空间建立在真空态上,动力学受到量子哈密顿算符支配,是湮灭真空的正定算符。量子标量场的构造详见正则量子化条目,依赖于场之间的正则对易关系。根本上,在标量场中作为其(解耦)简正模组合成的经典谐振子现在以标准方式进行了量子化,于是相应的量子算符场描述了作用于相应福克空间量子谐振子

总之,基本变量是量子场φ及其正则动量π。这两个算子值场都是厄米的。在空间点 、时间相等时,其正则对易关系

 

而自由哈密顿算符则与之相似,

 

空间傅立叶变换产生动量空间

 

解析为湮灭与创生算子

 

其中 

算子满足对易关系

 

被所有算子a湮灭的状态 称作裸真空,对真空施加 就会产生动量为 的粒子。

将所有可能创生算子组合应用于真空,就能构建出相关的希尔伯特空间:这种构造称作福克空间。真空由哈密顿算符

 

湮灭,其中零点能Wick排序消除。(见正则量子化

相互作用可由相互作用哈密顿量实现。对φ4理论,这相当于给哈密顿量添加Wick有序项 ,并对x积分。散射振幅可用相互作用绘景中的哈密顿量计算,是由戴森级数微扰理论中构建的,戴森级数给出了时间有序积或n粒子格林函数 。格林函数也可从求解施温格-戴森方程所构建的生成函数中获得。

费曼路径积分

费曼图展开也可从费曼路径积分表述中获得。[4]φ多项式的时序真空期望值,即n粒子格林函数,是对所有可能的场进行积分,并以无外场时的真空期望值归一化得到的:

 

所有这些格林函数都可通过扩展生成函数中 的指数来获得:

 

可用威克转动将时间变为虚数。将符号变为(++++)后,费曼积分即变为欧氏空间中的配分函数

 

通常,这适于定动量粒子的散射,这时傅立叶变换往往有用,可得

 

其中 狄拉克δ函数

评估这泛函积分的标准技巧是将其写成指数因子之积,即

 

后两个指数因子可展开为幂级数,这种展开的组合可用四次相互作用费曼图表示。

g = 0的积分可视作无穷多基本高斯积分之积:结果可用费曼图之和表示,计算时使用以下费曼法则:

  • n点欧氏格林函数中的每个场 都由图中的一条外线(半边)表示,并与动量p相关联。
  • 每个顶点用因子−g表示。
  • 在给定阶 时,所有具有n条外线和k个顶点的图都是这样构造的:流入顶点的动量均为零。每条内线表示为传播子 ,其中q是流经线的动量。
  • 任何无约束动量都对所有值积分。
  • 结果除以对称性系数,即在不改变连通性的前提下,重排图的线与顶点的方式数。
  • 不包括函“真空泡”的图,即无外线的联通子图。

最后一条规则考虑了除以 的影响。闵氏空间的费曼法则与此类似,只是顶点用−ig表示,内线用传播子 表示, 项代表使{闵氏空间高斯积分收敛的微小威克旋转。

重整化

费曼图中对无约束动量的积分(称为“环路积分”,loop integral)通常会发散。这一般用重整化处理,即在拉格朗日量中加入发散的相反项,从而使原拉格朗日量和反项构建的图收敛。[5]这过程中必须引入重整化标度, 耦合常数与质量都取决于它。

耦合常数g在标度 上的依赖由β函数 编码,定义是

 

这种对能量标度的依赖称作“耦合参数的运行”,量子场论中这种系统标度依赖的理论由重整化群描述。

β函数通常用近似方法计算,最常见的是微扰理论,即假定耦合常数很小。然后,便可以对耦合参数进行幂级数展开,并截去高阶项(也称为高贡献。与相应费曼图的环数有关)。

φ4理论的一环β函数(第一微扰贡献)是

 

最低阶项前面的符号为正,表明耦合常数随着能量增加。这种行为在大规模耦合时若也存在,将表明在有限能量下存在朗道极点,是由量子平凡性引起的。然而,这问题只能以非微扰形式回答,因为涉及强耦合。

当由β函数计算得重整化耦合在紫外截止被移除后归零时,称相应的量子场论是平凡的。这样,传播子变成了自由粒子的,场不再相互作用。

Michael Aizenman证明,在时空维度D ≥ 5的情形下,φ4相互作用理论是平凡的。[6]

D = 4,平凡性尚未得到严格证明,但晶格计算为此提供了有力证据。这一事实非常重要,因为量子平凡性可用于约束、甚至预测希格斯玻色子质量等量的参数。这也可以导致在渐进安全情形下的可预测希格斯玻色子质量。[7]

另见

脚注

  1. ^ 即,在洛伦兹群的平凡(0, 0)表示下发生变换,使得场在任何时空点上的值保持不变,这与向量场张量场、旋子张量不同,后者的分量在洛伦兹变换下会发生混合。由于粒子或场的自旋由其变换所据的洛伦兹表示决定,因此所有标量(及伪标量)场和粒子的自旋都为零,因此根据自旋统计定理,它们都是玻色子。参见Weinberg 1995,Chapter 5
  2. ^ 这意味着它在反转空间方向的宇称变换下会变化,与宇称不变的真标量有别。见Weinberg 1998,Chapter 19
  3. ^ Brown, Lowell S. Quantum Field Theory. Cambridge University Press. 1994. ISBN 978-0-521-46946-3.  Ch 3.
  4. ^ 本节的一般参考文献是Ramond, Pierre. Field Theory: A Modern Primer Second. USA: Westview Press. 2001-12-21. ISBN 0-201-30450-3. 
  5. ^ See the previous reference, or for more detail, Itzykson, Zuber; Zuber, Jean-Bernard. Quantum Field Theory . Dover. 2006-02-24. ISBN 0-07-032071-3. 
  6. ^ Aizenman, M. Proof of the Triviality of ϕ4
    d
    Field Theory and Some Mean-Field Features of Ising Models for d > 4. Physical Review Letters. 1981, 47 (1): 1–4. Bibcode:1981PhRvL..47....1A. doi:10.1103/PhysRevLett.47.1.
     
  7. ^ Callaway, D. J. E. Triviality Pursuit: Can Elementary Scalar Particles Exist?. Physics Reports. 1988, 167 (5): 241–320. Bibcode:1988PhR...167..241C. doi:10.1016/0370-1573(88)90008-7. 

参考文献

外部链接