正切半角公式

正切半角公式又稱萬能公式,這一組公式有四個功能:

  1. 統一為[1]
  2. 函數名稱統一為
  3. 任意實數都可以形式表達,可用正切函數換元
  4. 在某些積分中,可以將含有三角函數的積分變為有理分式的積分。

因此,這組公式被稱為以切表弦公式,簡稱以切表弦。它們是由二倍角公式求得的。

而被稱為萬能公式原因是利用的代換可以解決一些有關三角函數的積分。參見三角換元法


萬能公式的證明

二倍角公式,有:

 

 

再由同角三角函數間的關係,得出

 

幾何證明

 
正切半角公式的幾何證明

單位圓內, 。根據相似關係, ,可得出

 


顯然 

雙曲函數

此公式亦可以對雙曲函數起到類似的作用,由雙曲線右支上的一 給出。從 y給出了如下等式

 

可以得到

     
     
     

     

卡爾·維爾斯特拉斯引入這個式子來省去查找原函數的麻煩。

  而得出下面的雙曲反正切函數自然對數之間的關係:

 

參見

參考文獻

  1. ^ 唐小謙. 歡樂品數學:愛上你眼中的魔鬼學科. 清文華泉. 2020: 234. ISBN 9789865552176. 

外部連結