瓊斯多項式

在數學的紐結理論中，瓊斯多項式是沃恩·瓊斯在1984年發現的紐結多項式^[1]。瓊斯多項式是有向紐結（英語：oriented knot）或有向環（英語：oriented link）的一個紐結不變量（英語：knot invariant）（英語：knot invariant）。具體而言，它是一個以 $t^{1/2}$ 為變量的係數全為整數的洛朗多項式（英語：Laurent polynomial）^[2]。

瓊斯多項式定義式

I型 Reidemeister變換

假設給定一個有向紐結或有向環 $L$ 以及它的投影圖，那麼我們可以通過考夫曼（英語：Kauffman）的尖括號多項式 $\langle L\rangle$ 來定義瓊斯多項式 $V(L)$ 。這裡的尖括號多項式是一個以 $A$ 為變量的係數全為整數的洛朗多項式（英語：Laurent polynomial）。

首先我們先建立一個輔助多項式（英語：auxiliary polynomial）^{[註 1]}

X(L)=(-A^{3})^{-w(L)}\langle L\rangle

,

公式中的 $w(L)$ 是這個投影圖的擰數。一個投影圖的擰數是正交叉數量（下圖中的 $L_{+}$ ）減去負交叉數量（ $L_{-}$ ）得到的數值。擰數不是一個紐結不變量。

輔助多項式 $X(L)$ 是一個紐結不變量，因為即使對 $L$ 進行三種Reidemeister變換，也不會改變它的多項式 $X(L)$ 。尖括號多項式在II型Reidemeister變換和III型Reidemeister變換下保持不變，但I型Reidemeister變換會導致尖括號多項式被乘上 $-A^{\pm 3}$ 。以上的 $X(L)$ 定義式就是為了抵消I型Reidemeister變換對尖括號多項式的影響，因為I型Reidemeister變換也會使擰數增加1或減少1。

現在對多項式 $X(L)$ 進行變量替換 $A=t^{-1/4}$ ，就得到了瓊斯多項式 $V(L)$ 。

特徵

對於一個平凡結^{[註 2]}的任何投影圖，它的瓊斯多項式都為常數1。瓊斯多項式還滿足以下的紐結關係：

(t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-})\,

上式的 $L_{+}$ ， $L_{-}$ ，和 $L_{0}$ 是三個有向環的投影圖，他們唯一的區別只在於一個相交點，如下圖所示：

因為瓊斯多項式由尖括號多項式而定義，所以我們根據尖括號多項式的特性可得出以下推論：給定一個紐結 $K$ ，若我們已知它的瓊斯多項式 $V(K)$ ，那麼要得到它的鏡像（英語：mirror image）的瓊斯多項式，只需在 $V(K)$ 中把 $t$ 替換成 $t^{-1}$ 。因此我們從一個紐結的瓊斯多項式可以判斷這個紐結是否和它的鏡像相同。

瓊斯多項式還有一個著名的特徵：一個交錯紐結（英語：alternating knot）的瓊斯多項式是一個交錯多項式。數學家Morwen Thistlethwaite（英語：Morwen Thistlethwaite）在1987年證明了這個特徵^[3]。數學家Hernando Burgos-Soto（英語：Hernando Burgos-Soto）也給出了另一種證明，並把這個特徵推廣到了纏繞（英語：Tangle (mathematics)）（英語：tangle）上^[4]。

陳-西蒙斯理論

根據愛德華·威滕的證明，若我們有三維球面 $S^{3}$ 和規範群SU(2)的陳-西蒙斯理論：

F是SU(2)的基本表示（參看：https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_SU(2) （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）），
C是紐結

威爾森迴圈 $W_{F}(C)$ 的真空期望值等於C的瓊斯多項式。

這是環繞數的推廣。^[5]

辮群

統計力學的玻茨模型^[6]^[7]
亞歷山大定理（英語：Alexander's Theorem）

注釋

^ 該輔助多項式也被稱作標準化的尖括號多項式。
^ 英文原詞為 unknot, 在此翻譯為「平凡結」，即是一個沒有結的紐結。

參考來源

^ Jones, V.F.R. A polynomial invariant for knots via von Neumann algebra. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 1985, 12: 103–111. doi:10.1090/s0273-0979-1985-15304-2.
^ Jones Polynomials, Volume and Essential Knot Surfaces: A Survey (PDF). [2017-12-23]. （原始內容存檔 (PDF)於2020-12-09）.
^ Thistlethwaite, Morwen B. A spanning tree expansion of the jones polynomial. Topology. 1987, 26 (3): 297–309 [2017-12-24]. doi:10.1016/0040-9383(87)90003-6. （原始內容存檔於2021-06-21）.
^ Burgos-Soto, Hernando. The Jones polynomial and the planar algebra of alternating links. Journal of Knot Theory and its Ramifications. 2010, 19 (11): 1487–1505 [2017-12-24]. doi:10.1142/s0218216510008510. （原始內容存檔於2019-06-20）.
^ Ed Witten. Quantum Field Theory and the Jones polynomial. [2020-02-21]. （原始內容存檔於2020-11-01）.
^ Vaughan F.R. Jones. The Jones polynomial (PDF). [2020-02-21]. （原始內容存檔 (PDF)於2017-11-10）.
^ Jones. The Jones polynomial for dummies (PDF). [2020-02-21]. （原始內容存檔 (PDF)於2020-12-01）.

[3] 該輔助多項式也被稱作標準化的尖括號多項式。

[4] 英文原詞為 unknot, 在此翻譯為「平凡結」，即是一個沒有結的紐結。

[1] Jones, V.F.R. A polynomial invariant for knots via von Neumann algebra. Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 1985, 12: 103–111. doi:10.1090/s0273-0979-1985-15304-2.

[2] Jones Polynomials, Volume and Essential Knot Surfaces: A Survey (PDF). [2017-12-23]. （原始內容存檔 (PDF)於2020-12-09）.

[5] Thistlethwaite, Morwen B. A spanning tree expansion of the jones polynomial. Topology. 1987, 26 (3): 297–309 [2017-12-24]. doi:10.1016/0040-9383(87)90003-6. （原始內容存檔於2021-06-21）.

[6] Burgos-Soto, Hernando. The Jones polynomial and the planar algebra of alternating links. Journal of Knot Theory and its Ramifications. 2010, 19 (11): 1487–1505 [2017-12-24]. doi:10.1142/s0218216510008510. （原始內容存檔於2019-06-20）.

[7] Ed Witten. Quantum Field Theory and the Jones polynomial. [2020-02-21]. （原始內容存檔於2020-11-01）.

[8] Vaughan F.R. Jones. The Jones polynomial (PDF). [2020-02-21]. （原始內容存檔 (PDF)於2017-11-10）.

[9] Jones. The Jones polynomial for dummies (PDF). [2020-02-21]. （原始內容存檔 (PDF)於2020-12-01）.

[1]

[2]

[註 1]

[註 2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

瓊斯多項式

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