艾佛森括號

數學中,以Kenneth E. Iverson命名的「艾佛森括號」(Iverson bracket),是一種用方括號記號,如果方括號內的條件滿足則為1,不滿足則為0. 更確切地講,

此處 P 是一個可真可假的命題。該記號由Kenneth E. Iverson在他的程式語言APL中引進[1],而特別使用方括號則是由高德納倡導的,目的是避免含括號的表達式中的歧義。[2]

用途

艾弗森括號通過自然的映射 布林值轉化為整數值,這就允許計數被表示為和式。例如,計數與小於n且正整數n互質的正整數的個數的歐拉函數可以表示為

 

更一般地,此記號使得將和式和積分式中繁多的條件移入並成為被加(積)項的一個因子成為可能。這將減少累加記號周圍的空間,更重要的是這允許運算更加代數化。例如,

 

另一個例子是化簡帶特例的方程式,例如公式

 

對一切n > 1有效,但是右邊有 1/2 對於 n = 1。為了得到一個一切正整數n都成立的恆等式,可以利用艾弗森括號補充等式:

 

樣例

克羅內克函數 :  

符號函數單位階躍函數

 
 

最值與絕對值:

 
 
 

上下取整函數

 
 

麥考利括號英語Macaulay brackets可被表示為

 

實數的三一律等價於下面的恆等式:

 

另見

注釋

  1. ^ Ronald Graham, Donald Knuth, and Oren Patashnik. Concrete Mathematics, Section 2.2: Sums and Recurrences.
  2. ^ Knuth 1992.

參考來源