赫爾維茨ζ函數

赫爾維茨ζ函數(Hurwitz zeta function)定義如下

復空間赫爾維茨ζ函數

$\zeta (s,q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(q+n)^{s}}}.$

其中$q$、$s$都是複數，並且有$Re(q)>0$,$Re(s)>0$

對於給定的q,s,此函數可以擴展到 s≠1的亞純函數.

黎曼ζ函數=$\zeta (s,1)$

級數展開

赫爾維茨ζ函數可以展開成級數：:

$\zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.$

此級數在S空間的緊空間子集中均勻收斂成為一個整函數。

積分式

赫爾維茨ζ函數可以表示為下列梅林變換

$\zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-qt}}{1-e^{-t}}}dt$

其中 $\Re s>1$ 及$\Re q>0.$

赫爾維茨公式

$\zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]$

其中

$\beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}_{s}(e^{2\pi ix})$

對於 $0\leq x\leq 1$ and s > 1成立，其中 ${\text{Li}}_{s}(z)$代表 多重對數.

泰勒展開

赫爾維茨ζ函數的導數是平移：

${\frac {\partial }{\partial q}}\zeta (s,q)=-s\zeta (s+1,q).$

因此赫爾維茨ζ函數的泰勒級數可表示為:

$\zeta (s,x+y)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y^{k}}{k!}}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x^{k}}}\zeta (s,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose s-1}(-y)^{k}\zeta (s+k,x).$

或

$\zeta (s,q)={\frac {1}{q^{s}}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-q)^{n}{s+n-1 \choose n}\zeta (s+n),$

其中 $|q|<1$.

與Θ函數的關係

令$\vartheta (z,\tau )$ 代表 雅可比 Θ函數, 则

$\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (z,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\left[\zeta (1-s,z)+\zeta (1-s,1-z)\right]$

對於 $\Re s>0$ and 複數z 成立，但對於 z=n 整數，則有

$\int _{0}^{\infty }\left[\vartheta (n,it)-1\right]t^{s/2}{\frac {dt}{t}}=2\ \pi ^{-(1-s)/2}\ \Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)=2\ \pi ^{-s/2}\ \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s).$

其中 ζ 代表黎曼ζ函數.

推廣

正整數m的赫爾維茨ζ函數與 多伽瑪函數有下列關係:

$\psi ^{(m)}(z)=(-1)^{m+1}m!\zeta (m+1,z)\ .$

For negative integer −n the values are related to the Bernoulli polynomials:

$\zeta (-n,x)=-{\frac {B_{n+1}(x)}{n+1}}\ .$

The 巴恩斯ζ函數是赫爾維茨ζ函數的推廣。

The 勒奇超越函數也是赫爾維茨ζ函數的推廣:

$\Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}$

即：

$\zeta (s,q)=\Phi (1,s,q).\,$

赫爾維茨ζ函數與超幾何函數的關係：

$\zeta (s,a)=a^{-s}\cdot {}_{s+1}F_{s}(1,a_{1},a_{2},\ldots a_{s};a_{1}+1,a_{2}+1,\ldots a_{s}+1;1)$其中 $a_{1}=a_{2}=\ldots =a_{s}=a{\text{ and }}a\notin \mathbb {N} {\text{ and }}s\in \mathbb {N} ^{+}.$

Meijer G函數

$\zeta (s,a)=G\,_{s+1,\,s+1}^{\,1,\,s+1}\left(-1\;\left|\;{\begin{matrix}0,1-a,\ldots ,1-a\\0,-a,\ldots ,-a\end{matrix}}\right)\right.\qquad \qquad s\in \mathbb {N} ^{+}.$

延伸閱讀

• Davenport, Harold. Multiplicative number theory. Lectures in advanced mathematics 1. Chicago: Markham. 1967. Zbl 0159.06303. 
• Miller, Jeff; Adamchik, Victor S. Derivatives of the Hurwitz Zeta Function for Rational Arguments. Journal of Computational and Applied Mathematics. 1998, 100: 201–206 [2015-02-04]. doi:10.1016/S0377-0427(98)00193-9. （原始內容存檔於2010-03-16）. 
• Vepstas, Linas. The Bernoulli Operator, the Gauss–Kuzmin–Wirsing Operator, and the Riemann Zeta (PDF). [2015-02-04]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-03-10）. 
• Mező, István; Dil, Ayhan. Hyperharmonic series involving Hurwitz zeta function. Journal of Number Theory. 2010, 130 (2): 360–369. doi:10.1016/j.jnt.2009.08.005.