阿達馬伽瑪函數

在數學中，阿達馬伽瑪函數或阿達馬的伽瑪函數（Hadamard's gamma function）是除了伽瑪函數之外的另一種階乘的擴展定義方式，以雅克·阿達馬命名。此函數可以視為將階乘的參數向左平移1，並且在階乘的非整數部分插值，但是有別於歐拉伽瑪函數將階乘擴展到實數和複數的定義。阿達馬的伽瑪函數的定義為：

一般Γ函數與阿達馬Γ函數

Γ函數（藍色）、阿達馬Γ函數（橘色），其值在正整數時相同

H(x)={\frac {1}{\Gamma (1-x)}}\,{\dfrac {d}{dx}}\left\{\ln \left({\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}})}{\Gamma (1-{\frac {x}{2}})}}\right)\right\}

其中， $Γ(x)$ 是一般的伽瑪函數。若 $n$ 為正整數，則其函數與伽瑪函數和減一的階乘相等：

H(n)=\Gamma (n)=(n-1)!\,

性質

阿達馬伽瑪函數與一般伽瑪函數不同，阿達馬伽瑪函數沒有奇點，是一個完全連續的函數，並且滿足下面等式：

H(x+1)=x\,H(x)+{\frac {1}{\Gamma (1-x)}}

其中 ${\tfrac {1}{\Gamma (1-x)}}\to 0$ 在 $x$ 趨近正整數時趨近為0。


阿達馬伽瑪函數	一般伽瑪函數
的複變函數圖形


$\Gamma (x)-H(x)$	$\ln(\Gamma (x)-H(x))$	$\left\|\Gamma (x)-H(x)\right\|$	${\frac {H(x)}{\Gamma (x)}}$
阿達馬伽瑪函數與一般伽瑪函數的關係由左至右分別為兩函數的差、兩函數之差的自然對數、兩函數之差的絕對值以及兩函數之比。絕對值越小顏色越深，紅色是正實數、水藍色是負實數可以看到在正整數的上兩函數相等。

其他表示法

阿達馬伽瑪函數可以用雙伽瑪函數表示：

H(x)={\frac {\psi \left(1-{\frac {x}{2}}\right)-\psi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}}\right)}{2\,\Gamma (1-x)}}

H(x)=\Gamma (x)\left[1+{\frac {\sin(\pi x)}{2\pi }}\left\{\psi \left({\dfrac {x}{2}}\right)-\psi \left({\dfrac {x+1}{2}}\right)\right\}\right],

其中， $ψ(x)$ 表示雙伽瑪函數。

參考文獻

Hadamard, M. J., Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière (PDF), OEuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968, 1894 [2018-11-25], （原始內容存檔 (PDF)於2021-02-25）（法語）
Srivastava, H. M.; Junesang, Choi. Zeta and Q-Zeta Functions and Associated Series and Integrals. Elsevier insights. 2012: 124. ISBN 0123852188.
Introduction to the Gamma Function. The Wolfram Functions Site. Wolfram Research, Inc. [27 February 2016]. （原始內容存檔於2021-05-07）.