设U,V,W,X,Y和Z为平面上6条直线。如果:
(1)U与V的交点,X与W的交点,Y与Z的交点共线,且
(2)U与Z的交点,X与V的交点,Y与W的交点共线,
则一定有(3)U与W的交点,X与Z的交点,Y与V的交点共线。这个定理叫做帕普斯六角形定理(英語:Pappus's hexagon theorem)。
帕普斯定理
也就是说,
如果
![{\displaystyle \langle U\times V,X\times W,Y\times Z\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b57b303b6dabe8abdac12570f4f11b5b15b3042e)
且
![{\displaystyle \langle U\times Z,X\times V,Y\times W\rangle =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d8f07fe9e77deff2b0e93466f588a8f16a915ef)
则
![{\displaystyle \langle U\times W,X\times Z,Y\times V\rangle =0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/701c11ea775794daaee89d4b5d1177ec803fd96a)
這個定理是帕斯卡定理的一個特例,當這個圓錐曲線退化成兩條直線的時候。
证明
设
-
-
-
我们需要证明如果 = 0且 = 0,则 = 0。
第一步
利用恒等式
-
可将 、 及 表述为以下形式:
-
-
-
第二步
利用恒等式
-
-
可得
-
-
-
以及
-
-
-
第三步
利用数量积的分配律,可得:
-
-
-
第四步
利用恒等式
-
-
可得:
-
-
-
第五步
把这些等式相加,得:
-
-
因此,如果 = 0且 = 0,则 = 0。
证毕。
参见