帕普斯定理

設U,V,W,X,Y和Z為平面上6條直線。如果:
(1)U與V的交點,X與W的交點,Y與Z的交點共線,且
(2)U與Z的交點,X與V的交點,Y與W的交點共線,
則一定有(3)U與W的交點,X與Z的交點,Y與V的交點共線。這個定理叫做帕普斯六角形定理(英語:Pappus's hexagon theorem)。

帕普斯定理

也就是說,
如果

這個定理是帕斯卡定理的一個特例,當這個圓錐曲線退化成兩條直線的時候。

證明

 
 
 

我們需要證明如果  = 0且  = 0,則  = 0。

第一步

利用恆等式

 

可將   表述為以下形式:

 
 
 

第二步

利用恆等式

 
 

可得

 
 
 

以及

 
 
 

第三步

利用數量積的分配律,可得:

 
 
 

第四步

利用恆等式

 
 

可得:

 
 
 

第五步

把這些等式相加,得:

 
 

因此,如果  = 0且  = 0,則  = 0。

證畢。

參見