万有系数定理

建立同调论与上同调论关系的定理

代数拓扑中,万有系数定理建立了同调群(或上同调群)与不同系数的关系。例如,对每个拓扑空间X,其整同调群是:

对任何阿贝尔群A,都能完全确定其系数在A中的同调群:

其中可能是单纯同调或更一般的奇异同调。此结果的一般证明是关于自由阿贝尔群链复形的纯同调代数,结果的形式是,可以使用其他系数A,代价是使用Tor函子

例如,通常取A,于是系数是模2。在同调中没有2-扭化的情形下,这就变得简单明了了。一般来说,这结果表明了X贝蒂数F中的系数的贝蒂数之间的关系。但只有当F特征素数p、且同调中存在某种p-扭化时,才会有所不同。

同调情形的说明

考虑模的张量积 。该定理指出,有一个涉及Tor函子短正合列

 

其中μ是双射 诱导的映射。即,张量积的同态由直积的双射诱导。此外,这序列会分裂,虽然不是自然分裂。

若系数环A ,这就是伯克斯坦谱序列的一个特例。

上同调的万有系数定理

G为主理想域R(如 或某个域)上的模。

还有一个涉及Ext函子上同调的万有系数定理,断言有自然的短正合列

 

与同调情形一样,序列会分裂,虽然不是自然分裂。

事实上,假设

 

并定义:

 

则上面的h就是规范映射:

 

另一种观点是用艾伦伯格–麦克莱恩空间表示上同调,当中hX 的映射的同伦类映射到同调中导出的相应同态。于是,艾伦伯格–麦克莱恩空间弱右伴随于同调函子[1]

例子:实射影空间的模2上同调

 ,即实射影空间。计算X的系数在 中的奇异上同调。

已知,整数同调由下式给出:

 

 ,于是上述正合列给出

 

事实上,总上同调环结构是

 

推论

定理的一个特例是计算整上同调。对有限CW复形X 是有限生成的,因此有如下分解:

 

其中 X贝蒂数  的扭部分。可以检验

 

 

这给出了整上同调的如下声明:

 

对于有向闭连通n流形X,这一推论与庞加莱对偶性相结合,得出 

万有系数谱序列

对具有扭系数的(上)同调,有万有系数定理的推广。对于上同调,有

 

其中R单位环 R上自由模的链复形,G是某单位环S的任意 -双模, Ext群。微分 的度为 

同调也类似

 

其中 Tor群,微分 的度为 

注释

参考文献

  • Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the author's homepage页面存档备份,存于互联网档案馆).
  • Kainen, P. C. Weak Adjoint Functors. Mathematische Zeitschrift. 1971, 122: 1–9. S2CID 122894881. doi:10.1007/bf01113560. 
  • Jerome Levine. “Knot Modules. I.” Transactions of the American Mathematical Society 229 (1977): 1–50. https://doi.org/10.2307/1998498

外部链接