萬有係數定理

建立同调论与上同调论关系的定理

代數拓撲中,萬有係數定理建立了同調群(或上同調群)與不同係數的關係。例如,對每個拓撲空間X,其整同調群是:

對任何阿貝爾群A,都能完全確定其係數在A中的同調群:

其中可能是單純同調或更一般的奇異同調。此結果的一般證明是關於自由阿貝爾群鏈復形的純同調代數,結果的形式是,可以使用其他係數A,代價是使用Tor函子

例如,通常取A,於是係數是模2。在同調中沒有2-扭化的情形下,這就變得簡單明了了。一般來說,這結果表明了X貝蒂數F中的係數的貝蒂數之間的關係。但只有當F特徵素數p、且同調中存在某種p-扭化時,才會有所不同。

同調情形的說明

考慮模的張量積 。該定理指出,有一個涉及Tor函子短正合列

 

其中μ是雙射 誘導的映射。即,張量積的同態由直積的雙射誘導。此外,這序列會分裂,雖然不是自然分裂。

若係數環A ,這就是伯克斯坦譜序列的一個特例。

上同調的萬有係數定理

G為主理想域R(如 或某個域)上的模。

還有一個涉及Ext函子上同調的萬有係數定理,斷言有自然的短正合列

 

與同調情形一樣,序列會分裂,雖然不是自然分裂。

事實上,假設

 

並定義:

 

則上面的h就是規範映射:

 

另一種觀點是用艾倫伯格–麥克萊恩空間表示上同調,當中hX 的映射的同倫類映射到同調中導出的相應同態。於是,艾倫伯格–麥克萊恩空間弱右伴隨於同調函子[1]

例子:實射影空間的模2上同調

 ,即實射影空間。計算X的係數在 中的奇異上同調。

已知,整數同調由下式給出:

 

 ,於是上述正合列給出

 

事實上,總上同調環結構是

 

推論

定理的一個特例是計算整上同調。對有限CW復形X 是有限生成的,因此有如下分解:

 

其中 X貝蒂數  的扭部分。可以檢驗

 

 

這給出了整上同調的如下聲明:

 

對於有向閉連通n流形X,這一推論與龐加萊對偶性相結合,得出 

萬有係數譜序列

對具有扭係數的(上)同調,有萬有係數定理的推廣。對於上同調,有

 

其中R單位環 R上自由模的鏈復形,G是某單位環S的任意 -雙模, Ext群。微分 的度為 

同調也類似

 

其中 Tor群,微分 的度為 

註釋

參考文獻

  • Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the author's homepage頁面存檔備份,存於互聯網檔案館).
  • Kainen, P. C. Weak Adjoint Functors. Mathematische Zeitschrift. 1971, 122: 1–9. S2CID 122894881. doi:10.1007/bf01113560. 
  • Jerome Levine. 「Knot Modules. I.」 Transactions of the American Mathematical Society 229 (1977): 1–50. https://doi.org/10.2307/1998498

外部連結