八阶三角形镶嵌

在几何学中， 八阶三角形镶嵌 是由三角形组成的双曲面正镶嵌图，每八个三角形共用一个顶点。在施莱夫利符号用{3,8}表示。八阶三角形镶嵌即每个顶点皆为八个三角形的公共顶点，顶点周围包含了八个不重叠的三角形，一个三角形内角60度，八个三角形超过了360度，因此无法因此无法在平面作出，但可以在双曲面上作出。

八阶三角形镶嵌

庞加莱圆盘模型
类别	双曲正镶嵌
对偶多面体	正八边形镶嵌
识别
鲍尔斯缩写	otrat
数学表示法
考克斯特符号
施莱夫利符号	{3,8}
威佐夫符号	8 | 3 2 4 | 3 3
组成与布局
顶点图	38
对称性
对称群	[8,3], (*832) [(4,3,3)], (*433) [(4,4,4)], (*444)
图像
正八边形镶嵌 （对偶多面体）

正涂色

如要得到一半的对称性[1⁺,8,3] = [(4,3,3)]可透过将三角形以两种颜色交错涂色而得到。

对称性

正八边形镶嵌加上 *444 镜射线， .

在[(4,4,4)] 对称性中， 有十五个(七个特殊)透过移除镜射线和交错变换的子群。 若一个镶嵌中的阶数为偶数，则可移除镜射线，并将相邻、分开的阶去除一半。移除两条镜射线会变成半阶偏转点，其为移除镜射线交会的地方。 在这些图像中，基本域交替著色为黑色和白色， 而镜射线位于两种颜色交会的边上。 在每个基本域上添加三个平分镜射线会产生832对称性。 子群指数-8群， [(1⁺,4,1⁺,4,1⁺,4)] (222222)是[(4,4,4)]的换位子群。

一个更大的子群构造为[(4,4,4^*)]，指数为8，可作为将部分顶点去除的(2*2222)，也就是(*22222222)。 此对称性可透过加入平分基本域的镜射线增倍为842对称性。 此对称线可由6扩展，透过在每个域加入三个平分镜射线，作为832对称性。

[(4,4,4)] (*444)的子群

子群指数	1	2			4
图形
考斯特图	[(4,4,4)]	[(1+,4,4,4)] =	[(4,1+,4,4)] =	[(4,4,1+,4)] =	[(1+,4,1+,4,4)]	[(4+,4+,4)]
轨形	*444	*4242			2*222	222×
图像
考斯特		[(4,4+,4)]	[(4,4,4+)]	[(4+,4,4)]	[(4,1+,4,1+,4)]	[(1+,4,4,1+,4)] =
轨形		4*22			2*222
导向子群
指数	2	4			8
图像
考斯特	[(4,4,4)]+	[(4,4+,4)]+ =	[(4,4,4+)]+ =	[(4+,4,4)]+ =	[(4,1+,4,1+,4)]+ =
轨形	4242			222222
根源子群
指数	8			16
图像
考斯特	[(4,4*,4)]	[(4,4,4*)]	[(4*,4,4)]	[(4,4*,4)]+	[(4,4,4*)]+	[(4*,4,4)]+
轨形	*22222222			22222222

相关多面体及镶嵌

{3,3,8}的蜂巢体的顶点图为{3,8}。

多面体				欧式镶嵌	双曲镶嵌
{3,2}	{3,3}	{3,4}	{3,5}	{3,6}	{3,7}	{3,8}	{3,9}	...	{3,∞)

球面	双曲镶嵌
{2,8}	{3,8}	{4,8}	{5,8}	{6,8}	{7,8}	{8,8}	...	{∞,8}

在Wythoff构建中，有十个双曲正镶嵌可以由正八边形镶嵌以及八阶正三角形镶嵌构造而来。

此外，八阶三角形镶嵌作为一种无穷抽象多胞形，可以具象化为一种扭歪无限面体，该扭歪多面体皆由三角形组成，每个顶点都是8个三角形的公共顶点，其结构可以看做是依照立方晶格排列的扭棱立方体移除其正方形面所构成的几何结构。

参见

• 八阶四面体堆砌

参考资料

• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)
• Chapter 10: Regular honeycombs in hyperbolic space. The Beauty of Geometry: Twelve Essays. Dover Publications. 1999. ISBN 0-486-40919-8. LCCN 99035678. 

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Hyperbolic tiling. MathWorld. 
• 埃里克·韦斯坦因. Poincaré hyperbolic disk. MathWorld. 
• 双曲镶嵌以及球面镶嵌（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 双曲镶嵌, Don Hatch（页面存档备份，存于互联网档案馆）