负维空间

在拓朴学中，负维空间是将一般的空间维度向负整数的拓展^[1]，表示一个维度比零维空间还要低的空间。例如在抽象理论（英语：Abstract_polytope）中，以负一维空间来表示维度比零维还小的空多胞形。除了负一维，当然也能有负二、负三甚至更低的维，而维度在此就不能解释为是数学中独立参数的数目，而是拓朴空间维度于负数的推广^[2]。

定义

假设 $M t 0$ 是 $t 0$ 郝斯多夫维数的紧空间且是互相嵌入的紧空间元素并令参数t为零到无限（ $0 < t < \infty$ ）。若紧空间中构成这些元素都是 $t \geq t 0$ 时，这个尺度就能视为与 $M t 0$ 等价。这时就可以说紧空间 $M t 0$ 是这个尺度等价集合的洞，而 $- t 0$ 是对应的等价类的负数维度^[3]。

历史

1940年代时，拓扑结构科学已有相当程度的发展，对于正维度拓朴空间基本理论的研究也十分完备。在数值计算和一定程度美学的动机下，拓朴学家开始寻找能扩展空间概念、允许负数维度的数学框架。但这样的维度就像四维和更高的维度难以想像也无法直接观察。直到1960年代时才建构了一个特殊的拓朴框架，即拓朴谱学的范畴。拓朴谱学是允许负维空间的一般化。负维空间的概念已经有实际用途了，如分析语言统计学（英语：Outline of linguistics）^[4]。

参见

参考文献

^ Wolcott, Luke; McTernan, Elizabeth. Imagining Negative-Dimensional Space (PDF). Bosch, Robert; McKenna, Douglas; Sarhangi, Reza (编). Proceedings of Bridges 2012: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. Phoenix, Arizona, USA: Tessellations Publishing: 637–642. 2012 [25 June 2015]. ISBN 978-1-938664-00-7. ISSN 1099-6702. （原始内容存档 (PDF)于2015-06-26）.
^ В. П. Маслов. Отрицательная асимптотическая топологическая размерность, новый конденсат и их связь с квантованным законом Ципфа. Матем. заметки. 2006-11-01, 80 (6): 806–813 [2016-08-03]. doi:10.4213/mzm3362. （原始内容存档于2021-02-26）.
^ Maslov, V. P. General Notion of a Topological Space of Negative Dimension and Quantization of Its Density. Mathematical Notes. 2006-12-6, 81: 140 [2015-06-23]. doi:10.1134/S0001434607010166. （原始内容存档于2015-06-26）. |year=与|date=不匹配 (帮助); 请检查|date=中的日期值 (帮助)
^ Maslov, V.P. Negative Dimension in General and Asymptotic Topology. arxiv.org. [2015-06-25]. （原始内容存档于2019-12-02）.

延伸阅读

Maslov, V.P. Negative asymptotic topological dimension, a new condensate, and their relation to the quantized Zipf law. Mathematical Notes. November 2006, 80 (5-6): 806–813 [30 June 2015]. doi:10.1007/s11006-006-0203-7. （原始内容存档于2019-11-30）.

[Luke_Wolcott_Elizabeth_McTernan-1] Wolcott, Luke; McTernan, Elizabeth. Imagining Negative-Dimensional Space (PDF). Bosch, Robert; McKenna, Douglas; Sarhangi, Reza (编). Proceedings of Bridges 2012: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. Phoenix, Arizona, USA: Tessellations Publishing: 637–642. 2012 [25 June 2015]. ISBN 978-1-938664-00-7. ISSN 1099-6702. （原始内容存档 (PDF)于2015-06-26）.

[2] В. П. Маслов. Отрицательная асимптотическая топологическая размерность, новый конденсат и их связь с квантованным законом Ципфа. Матем. заметки. 2006-11-01, 80 (6): 806–813 [2016-08-03]. doi:10.4213/mzm3362. （原始内容存档于2021-02-26）.

[3] Maslov, V. P. General Notion of a Topological Space of Negative Dimension and Quantization of Its Density. Mathematical Notes. 2006-12-6, 81: 140 [2015-06-23]. doi:10.1134/S0001434607010166. （原始内容存档于2015-06-26）. |year=与|date=不匹配 (帮助); 请检查|date=中的日期值 (帮助)

[4] Maslov, V.P. Negative Dimension in General and Asymptotic Topology. arxiv.org. [2015-06-25]. （原始内容存档于2019-12-02）.

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