施拉姆-勒夫納演進

概率論中,施拉姆-勒夫納演變(Schramm–Loewner evolution,SLE)是一個平面曲線的家族以及統計力學模型的縮放極限

應用

勒夫納演變

  • D單連通開集。D是複雜域,但是不等於C。
  • γ 是D中的一條曲線。γD 的邊界開始。
  •  
  • 因為 是單連通的,它通過共形映射等於D(黎曼映射理論)。
  •  同構
  •  反函數
  • t = 0,f0(z) = zg0(z) = z。
  • ζ(t)是驅動函數(driving function),接受D邊界上的值

根據Loewner (1923,p. 121),Loewner方程英語Loewner differential equation

 
 

 的關係是

 

施拉姆-勒夫納演變

SL演變是一個勒夫納方程,有下面的驅動函數

 

其中 B(t) 是D邊界上的布朗運動

例如

屬性

若SLE描述共形場論,central charge c等於

 

Beffara (2008) 表明了SLE的豪斯多夫維數是min(2, 1 + κ/8)。

Lawler, Schramm & Werner (2001) 用SLE6 證明Mandelbrot (1982)的猜想:平面布朗運動邊界的分形維數是4/3。

Rohde和Schramm表明了曲線的分形維數

 

模擬

https://github.com/xsources/Matlab-simulation-of-Schramm-Loewner-Evolution(頁面存檔備份,存於網際網路檔案館

參考文獻

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