施拉姆-勒夫纳演进

概率论中,施拉姆-勒夫纳演变(Schramm–Loewner evolution,SLE)是一个平面曲线的家族以及统计力学模型的缩放极限

应用

勒夫纳演变

  • D单连通开集。D是复杂域,但是不等于C。
  • γ 是D中的一条曲线。γD 的边界开始。
  •  
  • 因为 是单连通的,它通过共形映射等于D(黎曼映射理论)。
  •  同构
  •  反函數
  • t = 0,f0(z) = zg0(z) = z。
  • ζ(t)是驱动函数(driving function),接受D边界上的值

根据Loewner (1923,p. 121),Loewner方程英语Loewner differential equation

 
 

 的关系是

 

施拉姆-勒夫纳演变

SL演变是一个勒夫纳方程,有下面的驱动函数

 

其中 B(t) 是D边界上的布朗运动

例如

属性

若SLE描述共形场论,central charge c等于

 

Beffara (2008) 表明了SLE的豪斯多夫维数是min(2, 1 + κ/8)。

Lawler, Schramm & Werner (2001) 用SLE6 证明Mandelbrot (1982)的猜想:平面布朗运动边界的分形维数是4/3。

Rohde和Schramm表明了曲线的分形维数

 

模拟

https://github.com/xsources/Matlab-simulation-of-Schramm-Loewner-Evolution(页面存档备份,存于互联网档案馆

参考文献

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