施拉姆-勒夫納演進

在概率論中，施拉姆-勒夫納演變（Schramm–Loewner evolution，SLE）是一個平面曲線的家族以及統計力學模型的縮放極限。

應用

• Uniform spanning tree, Loop erased random walk
• 自避行走
• 普遍性 (物理學)
• 施拉姆-勒夫納進化描述臨界滲流，臨界易辛模型，自避行走的縮放極限
• 統計力學模型
• 因為SLE有馬爾可夫性質，所以可以用伊藤微積分來分析一下
• 共形場論

勒夫納演變

• D 是單連通的開集。D是複雜域，但是不等於C。
• γ 是D中的一條曲線。γ 在D 的邊界開始。
• $D_{t}=D-\gamma ([0,t])$
• 因為$D_{t}$是單連通的，它通過共形映射等於D（黎曼映射理論）。
• $f:D_{t}\to D$是同構。
• $g(f(z))=z$是反函數。
• 在t = 0，f₀(z) = z 和 g₀(z) = z。
• ζ(t)是驅動函數（driving function），接受D邊界上的值。

根據Loewner (1923，p. 121)，Loewner方程是

${\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}=-zf_{t}^{\prime }(z){\frac {\zeta (t)+z}{\zeta (t)-z}}$

${\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}=g_{t}(z){\dfrac {\zeta (t)+g_{t}(z)}{\zeta (t)-g_{t}(z)}}.$

$\zeta ,\gamma$的關係是

$f_{t}(\zeta (t))=\gamma (t){\text{ 或 }}\ \zeta (t)=g_{t}(\gamma (t))$

施拉姆-勒夫納演變

SL演變是一個勒夫納方程，有下面的驅動函數

$\zeta (t)={\sqrt {\kappa }}B(t)$

其中 B(t) 是D邊界上的布朗運動。

例如

• 若0 ≤ κ ≤ 4，曲線γ(t)幾乎必然是簡單曲線
• 若4 < κ < 8，γ(t) 與自身相交。
• 若 κ ≥ 8，γ(t)是space-filling的。
• 若κ = 2，曲線是Loop-erased random walk。
• κ = 8：皮亞諾曲線
• 若 κ = 8/3，有人猜想這個SLE描述自避行走。
• κ = 3：易辛模型邊界的極限
• κ = 4：高斯自由場，harmonic explorer (2005),
• κ = 6：斯坦尼斯拉·斯米爾諾夫證明SLE₆ 是格子（正三角形鑲嵌）上的臨界滲透的縮放極限，計算臨界指數；證明滲流的共形不變性Smirnov (2001)，Cardy方程
• κ = 8：path separating UST from dual tree

屬性

若SLE描述共形場論，central charge c等於

$c={\frac {(8-3\kappa )(\kappa -6)}{2\kappa }}.$

Beffara (2008) 表明了SLE的豪斯多夫維數是min(2, 1 + κ/8)。

Lawler, Schramm & Werner (2001) 用SLE₆ 證明Mandelbrot (1982)的猜想：平面布朗運動邊界的分形維數是4/3。

Rohde和Schramm表明了曲線的分形維數是

$d=1+{\frac {\kappa }{8}}.$

模擬

https://github.com/xsources/Matlab-simulation-of-Schramm-Loewner-Evolution（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

閱讀

• https://terrytao.wordpress.com/tag/schramm-loewner-evolution/（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（陶哲軒介紹SLE）
• http://users.ictp.it/~pub_off/lectures/lns017/Lawler/Lawler.pdf（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（Conformally invariant process in plane, by Lawler）
• http://pi.math.cornell.edu/~cpss/2011/lawler-notes.pdf（SCALING LIMITS AND THE SCHRAMM-LOEWNER EVOLUTION GREGORY F. LAWLER）

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