拓撲不可區分性

拓撲學中,拓撲空間X內的兩點若有完全相同的鄰域,便稱這兩個點為「拓撲不可區分的」。亦即,設xyX內的兩點,A為由所有包含x的鄰域所組成的集合,且B為由所有包含y的鄰域所組成的集合,則xy為「拓撲不可區分的」若且唯若A = B

直觀上來說,若X的拓撲無法分辨之中的兩點,即可稱這兩點為拓撲不可區分的。

X內的兩點不是拓撲不可區分的,則稱這兩點為「拓撲可區分的」。這表示存在只包含兩點之中的其中一點的開集(或等價地說,存在只包含兩點之中的其中一點的閉集),而這個開集則可以用來使兩個點可以區分。T0空間是一個拓撲空間,其中任意兩個相區別的點都是拓撲可區分的。這是分離公理中最弱的一個限制條件。

拓撲不可區分性會在拓撲空間X上定義出一個等價關係。設xyX內的兩個點,若xy為拓撲不可區分的,便標記成xyx等價類則標記為[x]。

例子

T0空間(特別是豪斯多夫空間)而言,拓撲不可區分的概念是沒有意義的,因此若要尋找有趣的例子,必須要在非T0空間中才行。另一方面,由於正則性正規性並不蘊涵T0,所以可以找到一些有這些性質的例子。事實上,下面給出的例子就幾乎都是完全正則的。

  • 不可分空間中,任意兩個點都是拓撲不可區分的。
  • 偽度量空間中,兩點是拓撲不可區分的,若且唯若在兩點之間的距離為零。
  • 半賦範向量空間中,xy若且唯若‖xy‖ = 0。
    • 舉例來說,設L2(R)是一個拓撲空間,由所有從R映射至R的平方可積可測函數所組成(詳見Lp空間)。則在L2(R)內,函數fg為拓撲不可區分的,若且唯若兩個函數幾乎處處相等。
  • 拓撲群中,xy,若且唯若x−1y ∈ cl{e},這裏的cl{e}為當然子群閉包;而其等價類則為cl{e}的陪集(cl{e}總會是個正規子群)。
  • 一致空間推廣了偽度量空間和拓撲群。在一致空間中,xy若且唯若有序對 (x, y)屬於所有周圍entourage)。所有周圍的交集正是用X上拓撲不可區分性來定義的等價關係。
  • X有關於函數族 初拓撲X中兩個點xy是拓撲不可區分的,如果 族不區分它們(就是說對所有  )。
  • 給定集合X上的任何等價關係,存在X上的拓撲,它的拓撲不可區分概念一致於這個等價關係。你可以簡單選取這個等價關係為這個拓撲的。這叫做X上的劃分拓撲

特殊化預序

在空間X上的拓撲不可區分性可以從在X上的叫做特殊化預序的自然預序來復原。對於X中的點xy這個預序定義為

xy 若且唯若x ∈ cl{y}

這裏的cl{y}指示{y}的閉包。等價的說,xy如果x鄰域系統,指示為Nx,被包含在y的鄰域系統內:

xy若且唯若NxNy。容易看出在X上的這個關係是自反的和傳遞的,所以定義了預序。但是一般的說,這個預序不是反對稱的。實際上,確定自≤的等價關係完全就是拓撲不可區分性的關係:
xy若且唯若xy並且yx

拓撲空間被稱為對稱(或R0的,如果特殊化預序是對稱的(就是說xy蘊涵yx)。在這種情況下,關係≤和≡是同一的。拓撲不可區分性在這些空間中表現良好並易於理解。注意這類空間包括所有正則空間完全正則空間

性質

等價條件

有很多確定兩個點是拓撲不可區分的等價方式。設X是拓撲空間並設xyX的點。把xy的閉包分別指示為cl{x}和cl{y},並把它們的鄰域系統分別指示為NxNy。則下列陳述是等價的:

  • xy
  • 對於每個X中的開集U,要麼U包含xy二者要麼都不包含
  • Nx = Ny
  • x ∈ cl{y}並且y ∈ cl{x}
  • cl{x} = cl{y}
  • xNy並且yNx
  • Nx = Ny
  • x ∈ cl{y}並且xNy
  • x屬於包含y的所有開集和所有閉集
  • 濾子會聚於x若且唯若它會聚於y

這些條件可以在X對稱空間的情況下簡化。對於這些空間(特別是正則空間),下列陳述是等價的:

  • xy
  • 對於每個開集U,如果xUyU
  • NxNy
  • x ∈ cl{y}
  • xNy
  • x屬於包含y的所有閉集
  • x屬於包含y的所有開集
  • 所有會聚於x的網或濾子會聚於y

等價類

要討論x等價類,為了方便,首先定義x上閉集合和下閉集合。它們都是關於上述特殊化預序而定義的。

x的下部集合就是{x}的閉包:

 ,而x上部集合是在x鄰域系統交集
 

x的等價類接着給出為交集

 

因為↓x是包含x的所有閉集的交集而↑x是包含x的所有開集的交集,等價類[x]是包含x的所有開集和閉集的交集。

cl{x}和Nx二者都包含等價類[x]。一般的說,兩個集合都會包含額外的點。但是在對稱空間中(特別是在正則空間中),這三個集合是一致的:

 。一般的說,等價類[x]會是閉集,若且唯若這個空間是對稱的。

連續函數

f : XY連續函數。則對於任何X中的xy

xy蘊涵f(x) ≡ f(y)。逆命題一般為假(T0空間有是平凡)。逆命題在X有引發自f初拓撲的條件下為真。更一般的說,如果X有引發自映射族 的初拓撲則
xy若且唯若fα(x) ≡ fα(y)對於所有α。可得出在乘積空間中兩個元素是拓撲不可區分的,若且唯若每個它們的分量都是拓撲不可區分的。

柯爾莫果洛夫商空間

因為拓撲不可分別性是在任何拓撲空間X上的等價關係,我們可以形成商空間KX = X/≡。空間KX被叫做柯爾莫哥洛夫商空間X的T0同一。事實上,空間KX是T0(就是說所有點都是拓撲可區分的)。此外,通過商映射的特徵性質,任何從X到T0空間的連續映射f : XY通過商映射q : XKX而因子化。

儘管商映射q一般不是同胚(因為它一般不是單射),它確實引發在X的拓撲和KX的拓撲之間的雙射。直覺上說,柯爾莫果洛夫商不改變一個空間的拓撲。它只將點集精簡化,直到點都成為拓撲可區分的。

參見