聯合分佈

在機率論中, 對定義在相同樣本空間的兩個隨機變量$X$和$Y$，其聯合分佈是同時對於$X$和$Y$的機率分佈。

離散隨機變量的聯合分佈

對離散隨機變量而言，聯合分佈機率質量函數為$Pr(X=x\,\&\,Y=y)$，即

$P(X=x\;\mathrm {and} \;Y=y)\;=\;P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y).\;$

因為是機率分佈函數，所以必須有

$\sum _{x}\sum _{y}P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=1.\;$

連續隨機變量的聯合分佈

類似地，對連續隨機變量而言，聯合分佈機率密度函數為$f_{X,Y}(x,y)$，其中$f_{Y|X}(y|x)$和$f_{X|Y}(x|y)$分別代表$X=x$時$Y$的條件分佈以及$Y=y$時$X$的條件分佈；$f_{X}(x)$和$f_{Y}(y)$分別代表$X$和$Y$的邊際分佈。

同樣地，因為是機率分佈函數，所以必須有

$$\int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.$$

獨立變量的聯合分佈

對於兩相互獨立的事件$P(X)$及$P(Y)$，任意x和y而言有離散隨機變量$\ P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$，或者有連續隨機變量$\ p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)$。

多元聯合分佈

2元聯合分佈可以推廣到任意多元的情況$X_{1},\ldots ,X_{n}$

$f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{n}|X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{n}|x_{1},\ldots ,x_{n-1})f_{X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1}).$

相關條目

• 耦合 (機率)

外部連結

• Joint continuous density function. PlanetMath.