联合分布

在概率论中, 对定义在相同样本空间的两个随机变量$X$和$Y$，其联合分布是同时对于$X$和$Y$的概率分布。

离散随机变量的联合分布

对离散随机变量而言，联合分布概率质量函数为$Pr(X=x\,\&\,Y=y)$，即

$P(X=x\;\mathrm {and} \;Y=y)\;=\;P(Y=y|X=x)P(X=x)=P(X=x|Y=y)P(Y=y).\;$

因为是概率分布函数，所以必须有

$\sum _{x}\sum _{y}P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=1.\;$

连续随机变量的联合分布

类似地，对连续随机变量而言，联合分布概率密度函数为$f_{X,Y}(x,y)$，其中$f_{Y|X}(y|x)$和$f_{X|Y}(x|y)$分别代表$X=x$时$Y$的条件分布以及$Y=y$时$X$的条件分布；$f_{X}(x)$和$f_{Y}(y)$分别代表$X$和$Y$的边缘分布。

同样地，因为是概率分布函数，所以必须有

$$\int _{x}\int _{y}f_{X,Y}(x,y)\;dy\;dx=1.$$

独立变量的联合分布

对于两相互独立的事件$P(X)$及$P(Y)$，任意x和y而言有离散随机变量$\ P(X=x\ \mathrm {and} \ Y=y)=P(X=x)\cdot P(Y=y)$，或者有连续随机变量$\ p_{X,Y}(x,y)=p_{X}(x)\cdot p_{Y}(y)$。

多元联合分布

2元联合分布可以推广到任意多元的情况$X_{1},\ldots ,X_{n}$

$f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{n}|X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{n}|x_{1},\ldots ,x_{n-1})f_{X_{1},\ldots ,X_{n-1}}(x_{1},\ldots ,x_{n-1}).$

相关条目

• 耦合 (概率)

外部链接

• Joint continuous density function. PlanetMath.