從定義可以直接得到每個辛流形M 都是偶數維2n ，這是因為
ω
n
{\displaystyle \omega ^{n}}
辛體積形式 。由此可以得到，每個辛流形是有一個標準的定向 的，並且有一個標準的測度 ，劉維爾測度 （經常重整為
ω
n
/
n
!
{\displaystyle \omega ^{n}/n!}
令
{
v
1
,
…
,
v
2
n
}
{\displaystyle \{v_{1},\ldots ,v_{2n}\}}
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
ω ：
ω
(
v
i
,
v
j
)
=
{
1
j
−
i
=
n
with
1
⩽
i
⩽
n
−
1
i
−
j
=
n
with
1
⩽
j
⩽
n
0
otherwise
{\displaystyle \omega (v_{i},v_{j})={\begin{cases}1&j-i=n{\text{ with }}1\leqslant i\leqslant n\\-1&i-j=n{\text{ with }}1\leqslant j\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
這樣，辛形式簡化為二次型 。用
I
n
{\displaystyle I_{n}}
n 階單位矩陣 ，則二次型矩陣Ω將由2n 階方陣給出：
Ω
=
(
0
I
n
−
I
n
0
)
.
{\displaystyle \Omega ={\begin{pmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{pmatrix}}.}
令Q 為n 維光滑流形，則餘切叢
T
∗
Q
{\displaystyle T^{*}Q}
正規辛形式
ω
=
∑
i
=
1
n
d
p
i
∧
d
q
i
{\displaystyle \omega =\sum _{i=1}^{n}dp_{i}\wedge dq^{i}}
其中
(
q
1
,
…
,
q
n
)
{\displaystyle (q^{1},\ldots ,q^{n})}
Q 上的任意局部坐標，
(
p
1
,
…
,
p
n
)
{\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})}
d
q
1
,
…
,
d
q
n
{\displaystyle dq^{1},\ldots ,dq^{n}}
相空間 。區分上下索引的關鍵在於流形有沒有度量張量 ，黎曼流形 就是這種情況。上下索引在坐標系變換下進行反變與協變變換。「關於切向量的纖維坐標」是說，動量
p
i
{\displaystyle p_{i}}
d
q
i
{\displaystyle dq^{i}}
焊接 」在一起，表達了速度與動量共線的概念，並相差純量因子。
凱勒流形 是具有相容可積復結構的辛流形，構成一類特殊的複流形 ，復代數幾何 中有一大類例子。光滑復射影簇
V
⊂
C
P
n
{\displaystyle V\subset \mathbb {CP} ^{n}}
射影空間
C
P
n
{\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}
富比尼–施圖迪形式 的限制。
具有與
ω
{\displaystyle \omega }
黎曼流形 稱作殆複流形 ，推廣了凱勒流形，因為其不一定可積 。也就是說，它們不一定來自流形上的復結構。
辛流形
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
子流形 有幾個自然的幾何概念：
M 的辛子流形 （可能是任意偶數維）是子流形
S
⊂
M
{\displaystyle S\subset M}
ω
|
S
{\displaystyle \omega |_{S}}
S 上的辛形式。迷向子流形 是辛形式限制為零的子流形，即切空間都是環境流形切空間的迷向子空間 。同樣，若子流形的切子空間都是余迷向的（迷向子空間的對偶），則子流形也稱作余迷向 的。辛流形
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
拉格朗日子流形 是辛形式
ω
{\displaystyle \omega }
L
⊂
M
{\displaystyle L\subset M}
ω
|
L
=
0
,
dim
L
=
1
2
dim
M
{\displaystyle \omega |_{L}=0,\ {\text{dim }}L={\tfrac {1}{2}}\dim M}
辛同胚 的圖像在積辛流形
(
M
×
M
,
ω
×
−
ω
)
{\displaystyle (M\times M,\ \omega \times -\omega )}
阿諾德猜想 給出了子流形的貝蒂數 之和作為光滑拉格朗日子流形自交數的下界，而非光滑情形下的歐拉示性數 。
令
R
x
,
y
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}
(
x
1
,
…
,
x
n
,
y
1
,
…
,
y
n
)
{\displaystyle (x_{1},\dotsc ,x_{n},y_{1},\dotsc ,y_{n})}
R
x
,
y
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} _{{\textbf {x}},{\textbf {y}}}^{2n}}
ω
=
d
x
1
∧
d
y
1
+
⋯
+
d
x
n
∧
d
y
n
.
{\displaystyle \omega =\mathrm {d} x_{1}\wedge \mathrm {d} y_{1}+\dotsb +\mathrm {d} x_{n}\wedge \mathrm {d} y_{n}.}
有
R
x
n
→
R
x
,
y
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}\to \mathbb {R} _{\mathbf {x} ,\mathbf {y} }^{2n}}
ω
{\displaystyle \omega }
R
x
n
{\displaystyle \mathbb {R} _{\mathbf {x} }^{n}}
X
=
f
i
(
x
)
∂
x
i
,
Y
=
g
i
(
x
)
∂
x
i
,
{\displaystyle X=f_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},Y=g_{i}({\textbf {x}})\partial _{x_{i}},}
ω
(
X
,
Y
)
=
0.
{\displaystyle \omega (X,Y)=0.}
n
=
1
{\displaystyle n=1}
X
=
f
(
x
)
∂
x
,
Y
=
g
(
x
)
∂
x
,
ω
=
d
x
∧
d
y
{\displaystyle X=f(x)\partial _{x},\ Y=g(x)\partial _{x},\ \omega =\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y}
ω
(
X
,
Y
)
=
ω
(
f
(
x
)
∂
x
,
g
(
x
)
∂
x
)
=
1
2
f
(
x
)
g
(
x
)
(
d
x
(
∂
x
)
d
y
(
∂
x
)
−
d
y
(
∂
x
)
d
x
(
∂
x
)
)
{\displaystyle \omega (X,Y)=\omega (f(x)\partial _{x},g(x)\partial _{x})={\frac {1}{2}}f(x)g(x)(\mathrm {d} x(\partial _{x})\mathrm {d} y(\partial _{x})-\mathrm {d} y(\partial _{x})\mathrm {d} x(\partial _{x}))}
項都有因子
d
y
(
∂
x
)
{\displaystyle \mathrm {d} y(\partial _{x})}
流形的餘切叢局部建模在與第一例類似的空間上。可以證明，我們可以粘合這些仿射辛形式，因此該叢形成了辛流形。拉格朗日子流形的一個不太平凡的例子是流形餘切叢的零截面。例如，令
X
=
{
(
x
,
y
)
∈
R
2
:
y
2
−
x
=
0
}
.
{\displaystyle X=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y^{2}-x=0\}.}
然後可以把
T
∗
X
{\displaystyle T^{*}X}
T
∗
X
=
{
(
x
,
y
,
d
x
,
d
y
)
∈
R
4
:
y
2
−
x
=
0
,
2
y
d
y
−
d
x
=
0
}
{\displaystyle T^{*}X=\{(x,y,\mathrm {d} x,\mathrm {d} y)\in \mathbb {R} ^{4}:y^{2}-x=0,2y\mathrm {d} y-\mathrm {d} x=0\}}
其中我們將符號
d
x
,
d
y
{\displaystyle \mathrm {d} x,\mathrm {d} y}
R
4
=
T
∗
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{4}=T^{*}\mathbb {R} ^{2}}
d
x
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} x=0}
d
y
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} y=0}
f
1
,
…
,
f
k
{\displaystyle f_{1},\dotsc ,f_{k}}
d
f
1
,
…
,
d
f
k
{\displaystyle \mathrm {d} f_{1},\dotsc ,df_{k}}
考慮坐標為
(
q
1
,
…
,
q
n
,
p
1
,
…
,
p
n
)
{\displaystyle (q_{1},\dotsc ,q_{n},p_{1},\dotsc ,p_{n})}
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
(
u
1
,
…
,
u
n
)
{\displaystyle (u_{1},\dotsc ,u_{n})}
q
i
=
q
i
(
u
1
,
…
,
u
n
)
p
i
=
p
i
(
u
1
,
…
,
u
n
)
{\displaystyle q_{i}=q_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})\quad p_{i}=p_{i}(u_{1},\dotsc ,u_{n})}
若拉格朗日括號
[
u
i
,
u
j
]
,
∀
i
,
j
{\displaystyle [u_{i},\ u_{j}],\ \forall i,\ j}
∀
i
,
j
,
[
u
i
,
u
j
]
=
∑
k
∂
q
k
∂
u
i
∂
p
k
∂
u
j
−
∂
p
k
∂
u
i
∂
q
k
∂
u
j
=
0
{\displaystyle \forall i,\ j,\ [u_{i},\ u_{j}]=\sum _{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{j}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{j}}}=0}
這可以通過在拉格朗日子流形L 的條件中展開
∂
∂
u
i
=
∂
q
k
∂
u
i
∂
∂
q
k
+
∂
p
k
∂
u
i
∂
∂
p
k
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial u_{i}}}={\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}+{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}}
來看到。即，辛形式在切流形
T
L
{\displaystyle TL}
∀
i
,
j
,
ω
(
∂
∂
u
i
,
∂
∂
u
j
)
=
0
{\displaystyle \forall i,\ j,\ \omega \left({\frac {\partial }{\partial u_{i}}},{\frac {\partial }{\partial u_{j}}}\right)=0}
利用
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
ω
(
∂
∂
q
k
,
∂
∂
p
k
)
=
−
ω
(
∂
∂
p
k
,
∂
∂
q
k
)
=
1
{\displaystyle \omega \left({\frac {\partial }{\partial q_{k}}},{\frac {\partial }{\partial p_{k}}}\right)=-\omega \left({\frac {\partial }{\partial p_{k}}},{\frac {\partial }{\partial q_{k}}}\right)=1}
而其他的都為零。
由於辛流形上的局部坐標圖 具有規範形式，此例表明拉格朗日子流形相對來說不受約束。辛流形的分類由弗洛爾同調 完成，這是莫爾斯理論 在拉格朗日子流形間的映射的作用泛函 中的應用。物理學中，作用量描述了物理系統的時間演化；這裏，它可視作對膜動力的描述。
另一類有用的拉格朗日子流形出現於莫爾斯理論 。給定莫爾斯函數
f
:
M
→
R
{\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }
ε
{\displaystyle \varepsilon }
V
(
ε
⋅
d
f
)
⊂
T
∗
M
{\displaystyle \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)\subset T^{*}M}
M
∩
V
(
ε
⋅
d
f
)
=
Crit
(
f
)
{\displaystyle M\cap \mathbb {V} (\varepsilon \cdot \mathrm {d} f)={\text{Crit}}(f)}
凱勒流形 或卡拉比-丘流形 的情形下，可以在M 上選擇
Ω
=
Ω
1
+
i
Ω
2
{\displaystyle \Omega =\Omega _{1}+\mathrm {i} \Omega _{2}}
Ω
1
{\displaystyle \Omega _{1}}
Ω
2
{\displaystyle \Omega _{2}}
L 的
Ω
2
{\displaystyle \Omega _{2}}
L 是特殊 的。也就是說，限制在L 上實部
Ω
1
{\displaystyle \Omega _{1}}
L 上的體積形式。以下例子稱作特殊拉格朗日子流形：
超凱勒流形 的復拉格朗日子流形卡拉比-丘流形的實結構的定點 SYZ猜想 涉及鏡像對稱 中特殊拉格朗日子流形的研究，見(Hitchin 1999 )。
托馬斯-丘猜想 預言，在拉格朗日量的哈密頓迷向類中的卡拉比-丘流形上存在特殊拉格朗日子流形，這等價於流形的深谷範疇 上的布里奇蘭穩定性條件 。
有一個標準「局部」模型，也就是
R
2
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}
∀
i
=
0
,
…
,
n
−
1
,
j
,
k
=
0
,
…
,
2
n
−
1
(
k
≠
j
+
n
,
j
≠
k
+
n
)
,
ω
i
,
n
+
i
=
1
;
ω
n
+
i
,
i
=
−
1
;
ω
j
,
k
=
0
{\displaystyle \forall i=0,\ldots ,\ n-1,\ j,\ k=0,\ldots ,\ 2n-1(k\neq j+n,\ j\neq k+n),\ \omega _{i,\ n+i}=1;\ \omega _{n+i,\ i}=-1;\ \omega _{j,\ k}=0}
線性 辛空間的例子。參看辛向量空間 。一個稱為達布定理 的命題表明局部 來看每個辛流形都和這個簡單的辛流形相似。
辛流形M 的拉格朗日纖維 是指所有纖維 都是拉格朗日子流形的纖維 。由於M 是偶數維，所以可取局部坐標
(
p
1
,
…
,
p
n
,
q
1
,
…
,
q
n
)
{\displaystyle (p_{1},\ \ldots ,\ p_{n},\ q^{1},\ \ldots ,\ q^{n})}
達布定理 ，辛形式ω （至少局部地）可以寫成
ω
=
∑
d
p
k
∧
d
q
k
{\displaystyle \omega =\sum {\rm {d}}p_{k}\wedge {\rm {d}}q^{k}}
外微分 ，∧表示外積 。這種形式稱作龐加萊2形式 或規範2形式。利用這種設置，我們可以局部地將M 看成餘切叢
T
∗
R
n
{\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n}}
π
:
T
∗
R
n
→
R
n
.
{\displaystyle \pi :T^{*}\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}.}
令L 為辛流形
(
K
,
ω
)
{\displaystyle (K,\ \omega )}
浸入
i
:
L
↪
K
{\displaystyle i:\ L\hookrightarrow K}
i 是拉格朗日浸入 ）給出的拉格朗日子流形。令
π
:
K
↠
B
{\displaystyle \pi :\ K\twoheadrightarrow B}
K 的一個拉格朗日纖維，則
(
π
∘
i
)
:
L
↪
K
↠
B
{\displaystyle (\pi \circ i):\ L\hookrightarrow K\twoheadrightarrow B}
拉格朗日映射 。
π
∘
i
{\displaystyle \pi \circ i}
臨界值 集稱作焦散線 。
兩拉格朗日映射
(
π
1
∘
i
1
)
:
L
1
↪
K
1
↠
B
1
,
(
π
2
∘
i
2
)
:
L
2
↪
K
2
↠
B
2
{\displaystyle (\pi _{1}\circ i_{1}):\ L_{1}\hookrightarrow K_{1}\twoheadrightarrow B_{1},\ (\pi _{2}\circ i_{2}):\ L_{2}\hookrightarrow K_{2}\twoheadrightarrow B_{2}}
微分同胚
σ
,
τ
,
n
u
{\displaystyle \sigma ,\ \tau ,\ nu}
交換 、τ 保留辛形式，則稱它們拉格朗日等價 。[ 4]
τ
∘
i
1
=
i
2
∘
σ
,
ν
∘
π
1
=
π
2
∘
τ
,
τ
∗
ω
2
=
ω
1
,
{\displaystyle \tau \circ i_{1}=i_{2}\circ \sigma ,\ \nu \circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ \tau ,\ \tau ^{*}\omega _{2}=\omega _{1}\,,}
其中
τ
∗
ω
2
{\displaystyle \tau ^{*}\omega _{2}}
ω
2
{\displaystyle \omega _{2}}
τ 的拉回 。
辛流形
(
M
,
ω
)
{\displaystyle (M,\omega )}
ω
{\displaystyle \omega }
正合 的，則辛流形也是正合 （exact）的。例如，光滑流形的餘切叢是正合辛流形。規範辛形式 也正合。
切叢具有殆復結構的意義上，賦予跟辛形式相容的度量 的辛流形是殆凱勒流形 ，但不一定可積。
辛流形是泊松流形 的特例。
度數為k 的多辛流形 （multisymplectic manifold）是具備閉非退化k 形式的流形。[ 5]
聚辛流形 （polysymplectic manifold）是具有聚辛切值
(
n
+
2
)
{\displaystyle (n+2)}
哈密頓場論 。[ 6]
和辛流形緊密相關的有一個奇數維流形，稱為切觸流形 。每個2n+1 維切觸流形
(
M
,
α
)
{\displaystyle (M,\ \alpha )}
2n+2 維辛流形
(
M
×
R
,
d
(
e
t
α
)
)
.
{\displaystyle (M\times \mathbb {R} ,\ {\rm {d}}(e^{t}\alpha )).}
^ Webster, Ben. What is a symplectic manifold, really? . 2012-01-09 [2023-12-25 ] . （原始內容存檔 於2023-04-05）. ^ Cohn, Henry. Why symplectic geometry is the natural setting for classical mechanics . [2023-12-25 ] . （原始內容存檔 於2023-05-20）. ^ 3.0 3.1 de Gosson, Maurice. Symplectic Geometry and Quantum Mechanics. Basel: Birkhäuser Verlag. 2006: 10. ISBN 3-7643-7574-4 ^ 4.0 4.1 4.2 Arnold, V. I. ; Varchenko, A. N. ; Gusein-Zade, S. M. The Classification of Critical Points, Caustics and Wave Fronts: Singularities of Differentiable Maps, Vol 1 . Birkhäuser. 1985. ISBN 0-8176-3187-9 ^ Cantrijn, F.; Ibort, L. A.; de León, M. On the Geometry of Multisymplectic Manifolds. J. Austral. Math. Soc. Ser. A. 1999, 66 (3): 303–330. doi:10.1017/S1446788700036636 ^ Giachetta, G.; Mangiarotti, L.; Sardanashvily, G. Covariant Hamiltonian equations for field theory. Journal of Physics. 1999, A32 (38): 6629–6642. Bibcode:1999JPhA...32.6629G S2CID 204899025 arXiv:hep-th/9904062 doi:10.1088/0305-4470/32/38/302
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![{\displaystyle [u_{i},\ u_{j}],\ \forall i,\ j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4460752abab4cc161550f6cea5095e679329843)
![{\displaystyle \forall i,\ j,\ [u_{i},\ u_{j}]=\sum _{k}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{j}}}-{\frac {\partial p_{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial q_{k}}{\partial u_{j}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afc764fb9d78ff5a9051d73ef1abf5ff9fc3f776)
.
