−1

最大的負奇數

數學中,負一寫作 −1,是 1加法反元素,即當 −1 加上 1 之後就變為 0−1 是介於 −20 之間的整數,亦是最大的負整數

-1
← −2 −1 0 →
數表整數

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命名
小寫負一
大寫負壹
序數詞第負一
negative first
識別
種類整數
性質
質因數分解單位元
因數1
絕對值1
相反數1
表示方式
-1
算籌
二進制−1(2)
八進制−1(8)
十二進制−1(12)
十六進制−1(16)
語言
阿拉伯文١
孟加拉語
高斯整數導航
2i
−1+i i 1+i
−2 −1 0 1 2
−1−i i 1−i
−2i

負一與歐拉恆等式相關聯,此恆等式表示為

軟件開發中,用來表示變數包含無用的資訊,亦能作為函數錯誤時的傳回值。

程式語言中,取決於第一個元素是用 0 還是 1 表示,−1 可以用來索引陣列的最後一個元素,或者倒數第二個元素。

−11 有許多相似但略有不同的特性。

代數性質

將一數字乘上-1的動作,等價於將此數值變號。藉由分配律,以及1是乘法運算的單位元之公理,對於實數x,我們得到

 

這裏我們使用了「任意實數x乘上0等於0」,將x從等式中約掉。

 
 
複平面直角坐標系上的0, 1, −1, i, 和 −i

也就是,

 

故(−1) · xx的相反數。

負一平方

−1的平方亦即−1乘於−1,等於1。意即,兩負實數相乘為一正實數。

代數證明此結果

 

第一個等式取自上一段落的結果。第二個等式是根據「−1是1的加法反元素」。 再使用分配律,我們得到

 

第三個等式依據是:1是乘法運算的單位元。然後在等式前後加上1

 

以上運算適用於任意

負一的平方根

複數 滿足 ,也可視為-1的平方根。另一個能滿足x2 = −1的複數x是−i[1]四元數的代數包含複數平面,等式x2 = −1擁有無限多組解。

負一的乘冪

我們定義 ,即代數x的−1次方,或代數x的倒數。可將此定義結合指數定律  。 負數整數形式的指數可以拓展到環的反元素,定義 作為 的乘法反元素。

函數或矩陣右上的-1不是指數,而是反函數反矩陣。例如:  的反函數, 反正弦函數。

負一的對數

包括-1在內的所有負數在實數體中是沒有對數的,但在複數域,根據歐拉恆等式 ,可以得出-1的自然對數 

維數

空集的歸納維數被定義為-1。在抽象幾何學英語Abstract_polytope中,空多胞形的維數亦被定義為-1[2]

計算機的表示法

大多數計算機系統使用二補碼來表示負整數。此系統中,所有位元皆為一以表示-1,若以8-bit有符號整數表示,即為二進制的"11111111",或十六進位制的"FF"。若將-1解讀為n位無符號整數,n個1將表示為2n − 1,且較有符號整數系統能容納更大數值。例如,8-bit的"11111111"表示為 

Setun計算機中  以倒轉的阿拉伯數字一「1」表示[3]

參見條目

參考文獻

  1. ^ Ask Dr. Math. Math Forum. [2012-10-14]. (原始內容存檔於2019-08-15). 
  2. ^ Guy Inchbald. Vertex figures: The complete vertex and general vertex figures. steelpillow. 2005-01-06 [2016-08-02]. (原始內容存檔於2016-08-19). 
  3. ^ N.A.Krinitsky; G.A.Mironov; G.D.Frolov. Chapter 10. Program-controlled machine Setun. M.R.Shura-Bura (編). Programming. Moscow. 1963 (俄語).