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二面體

在幾何學中，二面體是指由2個面組成的多面體，但由於三維空間中的多面體至少要具有4個面，因此少於四個面的多面體只能是退化的，換句話說，小於4個面的多面體無法具有非零的體積。二面體中最常見的就是多邊形二面體，即由兩個全等的平面圖型封閉出的零體積空間所形成的退化多面體。最簡單的二面體是一種球面鑲嵌：一角形二面體，它的對偶是一面形。另外二面體也可以以環形多面體（英語：Toroidal polyhedron）或正則地區圖的形式存在。

二面體
部分的二面體
一角形二面體
一角形二面體 		環形二面體{4,4}1,1
環形二面體{4,4}1,1
一角錐
一角錐 		二面形
二面形

二面體中不存在任何柱體，因為如果柱體要僅有兩個面，代表其不存在側面，而這樣的立體就不是柱體了。

常見的二面體

平面圖形

主條目：多邊形二面體

任何平面圖形都可以視為一個二面體，並且屬於二面體群。

若將一封閉的平面圖形放置於三維空間也可以視為一個二面體，如多邊形二面體。他們皆屬於二面體群，是透鏡空間（英語：Lens_space）的基本域[1]。

球面鑲嵌

二面體可以以球面鑲嵌的方式存在，最簡單的例子是二面形。

名稱 二面形 一角形二面體 多邊形二面體
圖像      
施萊夫利符號 {2,2} {1,2}
h{2,2} 		{n,2}
考克斯特記號                  

二面形

主條目：多面形

一個二面形，是一種由二個鑲嵌在球體上的球弓形組成的多面形，施萊夫利符號中利用{2,2}來表示，該符號表達了二面形的結構——每個頂點都是2個二角形的公共頂點。

一角形二面體

 
球面上的一角形二面體

一角形二面體，又稱為雙一角形（dimonogon[2]）是一種退化的多邊形二面體，由2個一角形組成，這個幾何結構只有1個頂點，該頂點為2個一角形的公共頂點，在施萊夫利符號中用{1,2}表示，其具有2個面、1條邊和1個頂點，對偶多面體是一個一面體：一面形。[2]

在球面幾何學中，一角形二面體是一個球面上的一個圓上任一頂點。這形成了一個二面體，施萊夫利符號中利用{1,2}來表示，與的兩個半球形一角形面，共用一個360°的邊和一個頂點。它的對偶是一面形，施萊夫利符號中利用{2,1}來表示，具有一個二角形面（一個完整的360°弓形），一個180°的邊緣，和兩個頂點，因此屬於一面體。

一角形二面體可以截角為三面形[2][3]。

 
作為正則地區圖的一角形二面體。兩個面分別以藍色和黃色表示 		 
截角的一角形二面體，紅色為截角的截面，所形成的立體為三面形

一角錐

 
作為球面鑲嵌的一角錐

一角錐是指底面為一角形的錐體，由於其底面為一角形，因此在歐幾里得空間中，其已經退化無法擁有體積。在球面幾何學中，其可以作為球面鑲嵌，此時的一角錐由1個球面一角形和1個球面三角形構成。這種一角錐共有2個面、2條邊和2個頂點。一角錐的對偶多面體同樣是一角錐，因此是一種自身對偶的多面體。

雙一角錐

雙一角錐是以一角形為底的雙錐體，為一角柱的對偶多面體。由於其以一角形為底，因此在歐幾里得空間中，其已經退化無法擁有體積。在球面幾何學中，其可以作為球面鑲嵌，這種雙一角錐由2個面、3條邊和3個頂點組成，其兩個面都是三角形，但拓撲結構與三角形二面體不同，其中的兩個頂點為對蹠點，剩下的一個頂點位於赤道面上連結與對蹠點相連的兩條邊。雙一角錐的對偶多面體為一角柱。

環形多面體

 
{4,4}1,1是一種在環面由兩個兩兩共用頂點的四邊形組成

部分的環形多面體也是二面體，例如{4,4}1,1是一種環形二面體[5]，為環面上的兩個四邊形面共用2個頂點和4條邊；以及{3,6}1,0也是一種環面二面體，為環面上兩個三角形共用一個頂點和三條邊。

正則地區圖

部分的正則地區圖由兩個面組成，可以視為二面體的一種，例如虧格為2的二面正則地區圖有S2:{8,4}、S2:{6,6}和S2:{5,10}。其中S2:{8,4}為由兩個八邊形面共用4個頂點和8條邊[6]，並且八邊形在頂點周圍自我重複相鄰兩次，也就是頂點周圍圍繞着4個八邊形，且對應的皮特里多邊形為八邊形，因此其在施萊夫利符號中可以用{8,4}8來表示[7]；S2:{6,6}為由兩個六邊形共用兩個頂點和6條邊[8]，並且六邊形在頂點周圍自我重複相鄰三次，也就是其頂點周圍圍繞着六個六邊形，且對應的皮特里多邊形為二角形，因此在施萊夫利符號中可以用{6,6}2來表示[7]；S2:{5,10}為由兩個五邊形共用一個頂點和5條邊[9]，並且五邊形在頂點周圍自我重複相鄰五次，也就是其頂點周圍圍繞着10個五邊形，且對應的皮特里多邊形為二角形，因此在施萊夫利符號中可以用{5,10}2來表示[7]。

虧格 名稱 施萊夫利符號 頂點 邊 面 組成面 頂點圖 皮特里多邊形 對偶
2[7] S2:{8,4} {8,4}8 4 8 2 八邊形 四邊形（4個八邊形的公共頂點） 八邊形 S2:{4,8}（4個面）
S2:{6,6} {6,6}2 2 6 2 六邊形 六邊形（6個六邊形的公共頂點） 二角形 自身對偶
S2:{5,10} {5,10}2 1 5 2 五邊形 十邊形（10個五邊形的公共頂點） 二角形 S2:{10,5}（1個面）
3[10] S3:{12,4} {12,4}6 6 12 2 十二邊形 四邊形（4個十二邊形的公共頂點） 六邊形 S3:{4,12}（6個面）
S3:{8,8}4 {8,8}4 2 8 2 八邊形 八邊形（8個八邊形的公共頂點） 四邊形 自身對偶[11][12]
S3:{8,8}2 {8,8}2 二角形
S3:{7,14} {7,14}2 1 7 2 七邊形 十四邊形（14個七邊形的公共頂點） 二角形 S3:{14,7}（1個面）
4[13] S4:{16,4} {16,4}16 8 16 2 十六邊形 四邊形（4個十六邊形的公共頂點） 十六角形 S4:{4,16}（8個面）
S4:{12,6} {12,6}4 4 12 2 十二邊形 六邊形（6個十二邊形的公共頂點） 四邊形 S4:{6,12}（4個面）
S4:{10,10} {10,10}2 2 10 2 十邊形 十邊形（10個十邊形的公共頂點） 二角形 自身對偶
S4:{9,18} {9,18}2 1 9 2 九邊形 十八邊形（18個九邊形的公共頂點） 二角形 S4:{18,9}（1個面）

圓錐

主條目：圓錐

在不嚴謹的情況下，圓錐也能算是一種二面體，因為它可以看做是只有兩個面的幾何體，由一曲面（側面）和一圓形平面（底面）所組成。

二面體列表

名稱 種類 圖像 符號 頂點 邊 面 χ 面的種類 對稱性
一角形二面體 多邊形二面體   {1,2}
    		1 1 2 2 2個一角形  C1v
（*22）
二面形 多面形
多邊形二面體 		  {2,2}
      		2 2 2 2 2個二角形  D2h
（*222）
一角錐 角錐
退化多面體
球面多面體 		  ( )∨{1} 2 2 2 2 1個一角形
1個三角形 		C1v, [1]
雙一角錐 雙錐體
退化多面體
球面多面體 		  { }+{1} 3 3 2 2 2個三角形 D1h, [1,2], (*221) order 4
四面形半形
（hemi-4-hosohedron）[14] 		多面形
多面體半形 		{2,4}4/2 1 2 2 1 2個二角形 
三維多邊形 多邊形二面體   {n,2}
      		n n 2 2 2個全等的多邊形  Dnh
（*n22）
二階無限邊形鑲嵌[16] 鑲嵌圖   {∞,2}
     
      		∞ ∞ 2 2 2個無限邊形  [∞,2], (*∞22)
{4,4}1,1 環形多面體   {4,4}1,1 2 4 2 0 2個正方形 
{3,6}1,0 環形多面體   {3,6}1,0 1 3 2 0 2個正三角形 
S2:{8,4}[6] 正則地區圖 {8,4}8[7] 4 8 2 -2 2個八邊形
S2:{6,6}[8] 正則地區圖 {6,6}2[7] 2 6 2 -2 2個六邊形
S2:{5,10}[9] 正則地區圖 {5,10}2[7] 1 5 2 -2 2個五邊形
圓錐體 非嚴格多面體
曲面
柱體 		  1 1 2 2 1個曲面
1個圓形

參見

參考文獻

  1. ^ Gausmann, Evelise; Roland Lehoucq, Jean-Pierre Luminet, Jean-Philippe Uzan, Jeffrey Weeks. Topological Lensing in Spherical Spaces. Classical and Quantum Gravity. 2001, 18: 5155–5186. arXiv:gr-qc/0106033  . doi:10.1088/0264-9381/18/23/311. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 The dimonogon. weddslist.com. [2022-12-15]. （原始內容存檔於2021-07-31）. 
  3. ^ The 3-hosohedron. weddslist.com. [2022-12-15]. （原始內容存檔於2022-12-15）. 
  4. ^ Coxeter, H. S. M.; Moser, W. O. J., Generators and Relations for Discrete Groups, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete 14 4th, Springer Verlag, 1980, ISBN 978-0-387-09212-6 
  5. ^ Coxeter 1980 [4], 8.3 Maps of type {4,4} on a torus.
  6. ^ 6.0 6.1 S2:{8,4}. weddslist.com. [2022-12-15]. 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6 Regular maps in the orientable surface of genus 2. weddslist.com. [2022-12-15]. （原始內容存檔於2022-11-29）. 
  8. ^ 8.0 8.1 S2:{6,6}. weddslist.com. [2022-12-15]. 
  9. ^ 9.0 9.1 S2:{5,10}. weddslist.com. [2022-12-15]. 
  10. ^ Regular maps in the orientable surface of genus 3. weddslist.com. [2022-12-15]. （原始內容存檔於2021-10-19）. 
  11. ^ S3:{8,8}4. weddslist.com. [2022-12-15]. 
  12. ^ S3:{8,8}2. weddslist.com. [2022-12-15]. 
  13. ^ Regular maps in the orientable surface of genus 4. weddslist.com. [2022-12-15]. （原始內容存檔於2021-10-19）. 
  14. ^ The hemi-4-hosohedron. weddslist.com. [2022-12-15]. （原始內容存檔於2020-02-01）. 
  15. ^ The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5
  16. ^ Conway (2008)[15], p. 263
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