空多胞形
在抽象几何学中，空多胞形，又称虚无多胞形（英语：Null polytope）或零胞体（英语：Nullitope）是指不存在任何元素的多胞形[1]，对应到集合论中即为空集[2]。在抽象理论中，所有多胞形都含有空多胞形[3]，对应到集合论中即为空集是任意集合的子集，因此有时会称空多胞形为所有多胞形的基底或本质[4]。空多胞形的维度是负一维[5][6][7][8] ，是所有多胞形中维度数最低的元素[9][10][11]。在空多胞形中，最高维度的元素和最低维度的元素是同一个元素[12]。此外，所有空多胞形皆属于正图形[13]。
| 虚无多胞形 Null polytope | |
|---|---|
 | |
| 类型 | 抽象多胞形 |
| 维度 | -1 |
| 对偶多胞形 | 自身对偶 |
| 数学表示法 | |
| 考克斯特符号 | |
| 施莱夫利符号 | |
| 性质 | |
| 胞 | 无任何维度的胞 |
| 特性 | |
| 正、空集合、抽象 | |
负一维空间
在抽象几何学中，负一维空间表示比零维空间还低一个维度的负维空间，其代表了空多胞形本身的维度，由于空多胞形是一个空集合，因此负一维空间也等于一个空空间（英语：null space、或称虚无空间、零空间）[3]。也可以定义更低的维度作为空多胞形的基底，或空多胞形的维面，即超空多胞形（英语：Dinull polytope），存于负二维空间[14]，不过由于空多胞形已经是空集合了，因此一般不会给“空多胞形的维面”加以定义，或可以理解为超空多胞形并不存在，即空多胞形的维面不存在，或负二维空间不存在，否则如此定义可以一直不停递归下去，例如讨论“超空多胞形的维面”的定义，这不具有任何意义，且这概念仅有出现在文学作品中[15]，尚未有普遍接受的学术定义。
正零胞形
| 类别 | 空多胞形 正图形 |
|---|---|
| 对偶多面体 | 自身对偶 |
| 性质 | |
| 胞 | 0 |
| 面 | 0 |
| 欧拉特征数 | 未定义 |
依据正图形的定义，一个多胞形必须要具备严格的特征可递特性，对于该几何体内所有同维度的元素（如：点、线、面）都完全具有相同的性质，并且每一个元素皆为一个正图形，而零维多胞形的元素仅有{F−1, F0}、负一维多胞形的元素仅有{F−1}。由于在抽象理论中，所有多胞形都含有空多胞形[3]因此正零胞形也必须是正图形才能满足所有元素都是正图形的定义。
参见
参考文献
- ^ H. S. M. Coxeter. Regular Polytopes, Dover Books on Mathematics. Courier Corporation. 2012. ISBN 9780486141589.
- ^ Johnson, Norman. Polytopes-abstract and real. Citeseer. 2003 [2016-08-02]. （原始内容存档于2017-03-05）.
- ^ 3.0 3.1 3.2 Guy Inchbald. Vertex figures: The complete vertex and general vertex figures. steelpillow. 2005-01-06 [2016-08-02]. （原始内容存档于2016-08-19）.
- ^ Polytopes of Various Dimensions. polytope.net. [2016-08-02]. （原始内容存档于2016-11-26）.
- ^ JOHNSON, Norman. Polytopes-abstract （页面存档备份，存于互联网档案馆） and real. 2003.
- ^ Olshevsky, George. Uniform Panoploid Tetracombs. Unpublished manuscript. 2006.
- ^ Showers, Patrick J. Abstract Polytopes from Nested Posets (Ph.D.论文). University of Akron. 2013.
- ^ Guy Inchbald. Ditela, Polytopes and Dyads. steelpillow. [2021-08-02]. （原始内容存档于2018-10-18）.
- ^ Fernández, Jose Abraham Caravaca. "Seminar. （页面存档备份，存于互联网档案馆）"
- ^ SHOWERS, Patrick J. Abstract Polytopes from Nested Posets. 2013. PhD Thesis. University of Akron.
- ^ Johnson, N.W., Geometries and Transformations, Cambridge University Press: pp. 224–225, 2018 [2021-08-04], ISBN 9781107103405, LCCN 2017009670, （原始内容存档于2021-08-04）
- ^ Diudea, Mircea Vasile, Definitions in Polytopes, Multi-shell Polyhedral Clusters (Springer), 2018: 37––54, ISBN 978-3-319-64123-2, doi:10.1007/978-3-319-64123-2_3
- ^ N.W. Johnson: Geometries and Transformations, (2018) ISBN 978-1-107-10340-5 Chapter 11: Finite Symmetry Groups, 11.1 Polytopes and Honeycombs, p.226
- ^ Wolcott, Luke; McTernan, Elizabeth. Imagining Negative-Dimensional Space (PDF). Bosch, Robert; McKenna, Douglas; Sarhangi, Reza (编). Proceedings of Bridges 2012: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture. Phoenix, Arizona, USA: Tessellations Publishing: 637–642. 2012 [25 June 2015]. ISBN 978-1-938664-00-7. ISSN 1099-6702. （原始内容 (PDF)存档于2015-06-26）.
- ^ Wood, E. The Second Dimension: The Sacred Eye of Mob Island. Second Dimension. Createspace Independent Pub. 2015. ISBN 9781505724806.
- ^ Regular Polytopes and Honeycombs. [2016-08-02]. （原始内容存档于2016-08-02）.