六面体
在几何学中，六面体是指由六个面组成的多面体。所有面都全等、所有边等长且所有角相等的六面体称为正六面体。几何学上的正六面体是立方体，由6个正方形组成，但在抽象几何学中有另外一种具有6个面的正多面体，是由6个正五边形组成的半十二面体，但其为抽象多胞形不具有体积。其他亦存在所有面都全等但其他条件未必符合正多面体的形状，例如双三角锥和菱形六面体。其他也存在许多不规则的六面体，例如四角锥台、五角锥等。
| 部分的六面体 | |
|---|---|
 三方偏方面体 |
 五角锥 |
 四角柱 |
 双三角锥 |
常见的六面体
常见的六面体有正方体、四角柱、五角锥、双三角锥、三方偏方面体。
长方体
六个面都是矩形的六面体称为长方体，长方体具有每个二面角相等和每个三面角相等等特性。
平行六面体
六个面都是平行四边形的六面体称为平行六面体。当六个面都是菱形时，则具有等边多面体的性质，此时称为菱形六面体。
六面体列表
| 名称 | 图像 | 顶点 | 边 | 面 | 面的种类 | 对称性 | 展开图 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 立方体 （正多面体） |
|
8 | 12 | 6 | 6个正方形
|
Oh, [4,3], (*432) order 48 |
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| 长方体 | 
|
8 | 12 | 6 | 6个矩形
|
D2h, [2,2], (*222) order 8 |
|
| 四角柱 （柱体群） |
|
8 | 12 | 6 | 2个四边形 4个矩形
|
D4h, [4,2], (*422), order 16 | |
| 五角锥 （锥体群） |
|
6 | 10 | 6 | 1个五边形 5个三角形 .svg){kind=small}
|
C5v, [5], (*55) | 
|
| 四角锥台 | 
|
8 | 12 | 6 | 2个四边形 4个梯形 
|
C4v, [4], (*44) order 8 | |
| 菱形六面体 | 
|
8 | 12 | 6 | 6个菱形
|
D3d, [2+,6], (2*3) order 12 | |
| 三方偏方面体 |
|
8 | 12 | 6 | 6个四边形
|
D3, [2,3]+, (223) order 6 | |
| 双三角锥 |
|
5 | 9 | 6 | 6个三角形
|
D3h, [3,2], (*223) order 12 | 
|
| 平行六面体 | 
|
8 | 12 | 6 | 6个平行四边形
|
Ci, [2+,2+], (×) order 2 | |
| 平行六面体 （由菱形组成） |
| ||||||
| 十二面体半形 | 
|
10 | 15 | 6 | 6个五边形
|
A5, order 60 | |
| 皮特里正十二面体 | 
|
20 | 30 | 6 | 6个扭歪十边形
|
A5×C2, with 120 elements | |
| 皮特里正二十面体 | 
|
12 | 30 | 6 | 6个扭歪十边形
|
||
| 六面形 | 
|
2 | 6 | 6 | 6个二角形
|
D6h（*666） | |
| 二角反棱柱 | 
|
4 | 8 | 6 | 2个二角形 4个三角形 |
D2d, [2+,4], (2*2), order 8 |
非凸六面体
| 非凸六面体 | ||
|---|---|---|
 面的种类：4.4.3.3.3.3 10条边、 6个顶点 |
 面的种类：5.5.3.3.3.3 11条边、 7个顶点 |
 面的种类：6.6.3.3.3.3 12条边、 8个顶点 |
退化六面体
部分六面体包含退化的面或者本身已经退化至无法拥有体积的形式。例如二角反棱柱，其2个底面为二角形，因此退化成一条棱、更进一步的退化六面体有六面形，其由6个二角形组成，本身已退化至无法拥有体积的形式，仅能以球面镶嵌的形式存在。
二角反棱柱
二角反棱柱，又称反二角柱是指底面为二角形的反棱柱，由于其两个底面皆为二角形，因此这两个面已退化成一条棱，若不计这两个退化的底面，则这个立体与四面体无异。在球面几何学中，二角反棱柱可以作为球面镶嵌，此时二角形的面能够在求面上已非退化的形式存在，而确保整个立体为六个面组成的立体，此时的二角反棱柱由2个球面二角形和4个球面三边形构成，共有6个面、8条边和4个顶点，并且可以视为扭棱的二面形或二角形二面体，在施莱夫利符号中可以用sr{2,2}来表示。
 二角反棱柱。上方及下方红色的线段为退化的二角形底面。若不计这两个退化底面，则整个立体与四面体无异 |
作为球面镶嵌的二角反棱柱。计入二面形面时，二角反棱柱是一种六面体 |
六面形
六面形是一种多面形，为退化的六面体，无法拥有体积，由六个二角形组成。在球面几何学中，六面形可以在球面上以镶嵌的方式存在，表示六个镶嵌在球体上的球弓形，施莱夫利符号中利用{2,6}来表示，其对偶多面体是六边形二面体。
六面形由六个二角形组成，每个顶点都是六个二角形的公共顶点。正六面形的每个面都是正二角形，且每个顶点都是六个正二角形的公共顶点，因此正六面形也可以视为一种正多面体，但是因为其已退化，因此不会与帕雷托立体一同讨论。
六面形具有D6h, [2,6], (*226)的对称性和D6, [2,6]+的旋转对称性，且阶数为24，在考克斯特符号中用
表示，其对称性与六角柱相同，因此六角柱也可以视为一种与六面形相关的立体，因为六角柱可以经由六面形透过截角变换构造。
拓朴学中的六面体
在所有凸六面体当中，共有七种拓朴结构有明显差异的凸六面体[1][2][3][4][5] 。其中有2中互为镜射像。
 双三角锥 36 9 E, 5 V |
  四角反楔体。 有一个手性镜像 面的种类：4.4.3.3.3.3 10条边, 6个顶点 |
 面的种类：4.4.4.4.3.3 11条边, 7个顶点 |
 五角柱 面的种类：5.35 10条边, 6个顶点 |
 面的种类：5.4.4.3.3.3 11条边, 7个顶点 |
 面的种类：5.5.4.4.3.3 12条边, 8个顶点 |
参考文献
- ^ Anatole Beck, Michael Bleicher, Donald Crowe. Excursions into Mathematics: 29–30. 1969.
- ^ Counting polyhedra （页面存档备份，存于互联网档案馆） numericana.com [2016-1-10]
- ^ Martin Gardner. Denkspiele von anderen Planeten. München: Hugendubel. 1986: 134. ISBN 3-88034-295-4.
- ^ Weisstein, Eric W. (编). Hexahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
- ^ Gardner, M. "Find the Hexahedrons." §19.9 in Martin Gardner's New Mathematical Diversions from Scientific American. New York: Simon and Schuster, pp. 224-225 and 233, 1966.
外部链接
- Polyhedra with 4-7 Faces by Steven Dutch